Номер 226, страница 428 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 226, страница 428.

Условие.

226 a) $ \begin{cases} 4^{2y} + 3^{2x} = 82 \\ 3^x - 4^y = 8 \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 3^y + 5^{2x} = 26 \\ 5^x - 3^{0.5y} = 4 \end{cases} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 4^{2y} + 3^{2x} = 82 \\ 3^x - 4^y = 8 \end{cases} $$

Преобразуем уравнения, используя свойства степеней: $4^{2y} = (4^y)^2$ и $3^{2x} = (3^x)^2$. Система примет вид:

$$ \begin{cases} (4^y)^2 + (3^x)^2 = 82 \\ 3^x - 4^y = 8 \end{cases} $$

Введем замену переменных. Пусть $a = 3^x$ и $b = 4^y$. Так как показательная функция всегда положительна, то $a > 0$ и $b > 0$.

Получим новую систему уравнений относительно $a$ и $b$:

$$ \begin{cases} b^2 + a^2 = 82 \\ a - b = 8 \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $a$: $a = 8 + b$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$b^2 + (8 + b)^2 = 82$

$b^2 + 64 + 16b + b^2 = 82$

$2b^2 + 16b + 64 - 82 = 0$

$2b^2 + 16b - 18 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$b^2 + 8b - 9 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета находим корни: $b_1 = 1$ и $b_2 = -9$.

Так как $b = 4^y > 0$, корень $b_2 = -9$ не подходит. Следовательно, $b = 1$.

Теперь найдем $a$: $a = 8 + b = 8 + 1 = 9$.

Вернемся к исходным переменным:

$3^x = a \implies 3^x = 9 \implies 3^x = 3^2 \implies x = 2$.

$4^y = b \implies 4^y = 1 \implies 4^y = 4^0 \implies y = 0$.

Таким образом, решение системы: $(2; 0)$.

Ответ: $(2; 0)$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 3^y + 5^{2x} = 26 \\ 5^x - 3^{0,5y} = 4 \end{cases} $$

Преобразуем уравнения, используя свойства степеней: $5^{2x} = (5^x)^2$ и $3^{0,5y} = 3^{\frac{1}{2}y} = (3^y)^{1/2} = \sqrt{3^y}$.

Введем замену переменных. Пусть $u = 5^x$ и $v = 3^y$. Так как показательная функция всегда положительна, то $u > 0$ и $v > 0$.

Получим новую систему уравнений относительно $u$ и $v$:

$$ \begin{cases} v + u^2 = 26 \\ u - \sqrt{v} = 4 \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $u$: $u = 4 + \sqrt{v}$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$v + (4 + \sqrt{v})^2 = 26$

$v + 16 + 8\sqrt{v} + (\sqrt{v})^2 = 26$

$v + 16 + 8\sqrt{v} + v = 26$

$2v + 8\sqrt{v} - 10 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$v + 4\sqrt{v} - 5 = 0$

Для решения этого уравнения введем еще одну замену. Пусть $w = \sqrt{v}$. Так как $v > 0$, то $w > 0$.

Уравнение примет вид:

$w^2 + 4w - 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета находим корни: $w_1 = 1$ и $w_2 = -5$.

Так как $w = \sqrt{v} > 0$, корень $w_2 = -5$ не подходит. Следовательно, $w = 1$.

Теперь найдем $v$ и $u$:

$w = \sqrt{v} \implies v = w^2 = 1^2 = 1$.

$u = 4 + \sqrt{v} = 4 + \sqrt{1} = 4 + 1 = 5$.

Вернемся к исходным переменным:

$5^x = u \implies 5^x = 5 \implies 5^x = 5^1 \implies x = 1$.

$3^y = v \implies 3^y = 1 \implies 3^y = 3^0 \implies y = 0$.

Таким образом, решение системы: $(1; 0)$.

Ответ: $(1; 0)$.