Номер 222, страница 428 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 222, страница 428.

Условие.

222 a) $\begin{cases}(x - 2)^2 + y^2 = 10 \\x + y = 6;\end{cases}$

б) $\begin{cases}(x - 5)^2 + y^2 = 5 \\x + y = 8;\end{cases}$

в) $\begin{cases}(x - 6)^2 + y^2 = 10 \\x + y = 10;\end{cases}$

г) $\begin{cases}(x - 5)^2 + y^2 = 10 \\x + y = 5.\end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} (x-2)^2 + y^2 = 10 \\ x + y = 6 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$: $y = 6 - x$.

Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы:

$(x-2)^2 + (6-x)^2 = 10$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(x^2 - 4x + 4) + (36 - 12x + x^2) = 10$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - 16x + 40 = 10$

Перенесем 10 в левую часть уравнения:

$2x^2 - 16x + 30 = 0$

Разделим все члены уравнения на 2 для упрощения:

$x^2 - 8x + 15 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а произведение равно 15. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = 5$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя формулу $y = 6 - x$:

При $x_1 = 3$, получаем $y_1 = 6 - 3 = 3$.

При $x_2 = 5$, получаем $y_2 = 6 - 5 = 1$.

Ответ: (3; 3), (5; 1).

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} (x-5)^2 + y^2 = 5 \\ x + y = 8 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$: $y = 8 - x$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(x-5)^2 + (8-x)^2 = 5$

Раскроем скобки:

$(x^2 - 10x + 25) + (64 - 16x + x^2) = 5$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - 26x + 89 = 5$

Перенесем 5 в левую часть:

$2x^2 - 26x + 84 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$x^2 - 13x + 42 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета: $x_1 + x_2 = 13$, $x_1 \cdot x_2 = 42$. Корни: $x_1 = 6$, $x_2 = 7$.

Найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = 8 - x$:

При $x_1 = 6$, $y_1 = 8 - 6 = 2$.

При $x_2 = 7$, $y_2 = 8 - 7 = 1$.

Ответ: (6; 2), (7; 1).

в)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} (x-6)^2 + y^2 = 10 \\ x + y = 10 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$: $y = 10 - x$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(x-6)^2 + (10-x)^2 = 10$

Раскроем скобки:

$(x^2 - 12x + 36) + (100 - 20x + x^2) = 10$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - 32x + 136 = 10$

Перенесем 10 в левую часть:

$2x^2 - 32x + 126 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$x^2 - 16x + 63 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета: $x_1 + x_2 = 16$, $x_1 \cdot x_2 = 63$. Корни: $x_1 = 7$, $x_2 = 9$.

Найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = 10 - x$:

При $x_1 = 7$, $y_1 = 10 - 7 = 3$.

При $x_2 = 9$, $y_2 = 10 - 9 = 1$.

Ответ: (7; 3), (9; 1).

г)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} (x-5)^2 + y^2 = 10 \\ x + y = 5 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$: $y = 5 - x$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(x-5)^2 + (5-x)^2 = 10$

Заметим, что $(5-x)^2 = (-(x-5))^2 = (x-5)^2$. Поэтому уравнение можно переписать:

$(x-5)^2 + (x-5)^2 = 10$

$2(x-5)^2 = 10$

Разделим обе части на 2:

$(x-5)^2 = 5$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x-5 = \pm\sqrt{5}$

Отсюда получаем два значения для $x$:

$x_1 = 5 + \sqrt{5}$

$x_2 = 5 - \sqrt{5}$

Найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = 5 - x$:

При $x_1 = 5 + \sqrt{5}$, $y_1 = 5 - (5 + \sqrt{5}) = -\sqrt{5}$.

При $x_2 = 5 - \sqrt{5}$, $y_2 = 5 - (5 - \sqrt{5}) = \sqrt{5}$.

Ответ: ($5 + \sqrt{5}$; $-\sqrt{5}$), ($5 - \sqrt{5}$; $\sqrt{5}$).