Номер 217, страница 428 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 217, страница 428.

Условие.

217 a) $\log_{x-2} x \le \log_{x-2} 4$;

б) $2 \log_{\pi} \sin x \cdot \log_{\pi} \sin 2x - \log_{\pi}^2 \sin 2x \le \log_{\pi}^2 \sin x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Исходное неравенство: $ \log_{(x-2)}x \le \log_{(x-2)}4 $.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля, а основание логарифма должно быть строго больше нуля и не равно единице.

$ \begin{cases} x > 0 \\ x - 2 > 0 \\ x - 2 \neq 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x > 2 \\ x \neq 3 \end{cases} $

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $ x \in (2, 3) \cup (3, +\infty) $.

Далее, для решения логарифмического неравенства рассмотрим два случая в зависимости от значения основания $ (x-2) $.

Случай 1: Основание больше 1.

$ x - 2 > 1 \implies x > 3 $.

В этом случае логарифмическая функция является возрастающей, поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:

$ x \le 4 $.

Теперь найдем пересечение полученного решения с условием для данного случая: $ x > 3 $ и $ x \le 4 $.

Получаем интервал: $ x \in (3, 4] $. Этот интервал полностью входит в ОДЗ.

Случай 2: Основание находится в интервале от 0 до 1.

$ 0 < x - 2 < 1 \implies 2 < x < 3 $.

В этом случае логарифмическая функция является убывающей, поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$ x \ge 4 $.

Найдем пересечение полученного решения с условием для данного случая: $ 2 < x < 3 $ и $ x \ge 4 $.

Пересечение этих множеств пустое, следовательно, в этом случае решений нет.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $ x \in (3, 4] $.

б)

Исходное неравенство: $ 2\log_\pi \sin x \cdot \log_\pi \sin 2x - \log_\pi^2 \sin 2x \le \log_\pi^2 \sin x $.

Перенесем все члены в правую часть неравенства:

$ 0 \le \log_\pi^2 \sin x - 2\log_\pi \sin x \cdot \log_\pi \sin 2x + \log_\pi^2 \sin 2x $.

Правая часть представляет собой полный квадрат разности. Пусть $ a = \log_\pi \sin x $ и $ b = \log_\pi \sin 2x $. Тогда неравенство принимает вид $ 0 \le a^2 - 2ab + b^2 $, что эквивалентно:

$ (\log_\pi \sin x - \log_\pi \sin 2x)^2 \ge 0 $.

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Следовательно, данное неравенство выполняется для всех значений $ x $, при которых определены входящие в него логарифмы.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительны:

$ \begin{cases} \sin x > 0 \\ \sin 2x > 0 \end{cases} $

Условие $ \sin x > 0 $ выполняется, когда $ x $ принадлежит I или II координатной четверти, то есть $ x \in (2\pi k, \pi + 2\pi k) $ для любого целого $ k $.

Используем формулу двойного угла: $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $. Так как по первому условию $ \sin x > 0 $, то второе условие $ \sin 2x > 0 $ сводится к $ 2\cos x > 0 $, или $ \cos x > 0 $.

Условие $ \cos x > 0 $ выполняется, когда $ x $ принадлежит I или IV координатной четверти, то есть $ x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n) $ для любого целого $ n $.

Для выполнения системы неравенств необходимо, чтобы выполнялись оба условия одновременно: $ \sin x > 0 $ и $ \cos x > 0 $. Это соответствует I координатной четверти.

Таким образом, решением является пересечение множеств $ x \in (2\pi k, \pi + 2\pi k) $ и $ x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k) $, что дает нам интервалы:

$ x \in (2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k) $ для $ k \in \mathbb{Z} $.

Это и есть решение исходного неравенства.

Ответ: $ x \in (2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $.