Номер 210, страница 427 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 210, страница 427.

Условие.

210 a) $(\frac{1}{5})^{1-x} \cdot 5^{\sqrt{-x}} > \frac{1}{25};$

б) $\frac{2^x + 5x + 8}{x - 2} \le 5;$

B) $\sqrt{2 \log_9 (3x^2 - 4)} > \log_3 \sqrt{3x^2 - 4}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Исходное неравенство:

$(\frac{1}{5})^{1-x} \cdot 5^{\sqrt{-x}} > \frac{1}{25}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$-x \ge 0 \implies x \le 0$

2. Приведем все части неравенства к основанию 5:

$(\frac{1}{5})^{1-x} = (5^{-1})^{1-x} = 5^{-(1-x)} = 5^{x-1}$

$\frac{1}{25} = 5^{-2}$

Подставим преобразованные выражения в исходное неравенство:

$5^{x-1} \cdot 5^{\sqrt{-x}} > 5^{-2}$

3. Используем свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$5^{x-1 + \sqrt{-x}} > 5^{-2}$

4. Так как основание степени $5 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$x-1 + \sqrt{-x} > -2$

$\sqrt{-x} > -x - 1$

5. Решим полученное иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$. Оно равносильно совокупности двух систем:

Первая система:

$\begin{cases} -x - 1 < 0 \\ -x \ge 0 \end{cases}$

Из первого неравенства: $-x < 1 \implies x > -1$.

Из второго неравенства: $x \le 0$.

Решением первой системы является интервал $(-1, 0]$.

Вторая система:

$\begin{cases} -x - 1 \ge 0 \\ (\sqrt{-x})^2 > (-x - 1)^2 \end{cases}$

Из первого неравенства: $-x \ge 1 \implies x \le -1$.

Решаем второе неравенство:

$-x > (-(x+1))^2$

$-x > (x+1)^2$

$-x > x^2 + 2x + 1$

$x^2 + 3x + 1 < 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 3x + 1 = 0$:

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Так как ветви параболы $y = x^2 + 3x + 1$ направлены вверх, неравенство $x^2 + 3x + 1 < 0$ выполняется между корнями: $\frac{-3 - \sqrt{5}}{2} < x < \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$.

Теперь найдем пересечение этого решения с условием $x \le -1$. Так как $\frac{-3 - \sqrt{5}}{2} \approx -2.62$ и $\frac{-3 + \sqrt{5}}{2} \approx -0.38$, то пересечением будет интервал $(\frac{-3 - \sqrt{5}}{2}, -1]$.

6. Объединим решения обеих систем:

$(-1, 0] \cup (\frac{-3 - \sqrt{5}}{2}, -1] = (\frac{-3 - \sqrt{5}}{2}, 0]$.

Данное решение полностью удовлетворяет ОДЗ ($x \le 0$).

Ответ: $x \in (\frac{-3 - \sqrt{5}}{2}, 0]$.

б)

Исходное неравенство:

$\frac{2^x + 5x + 8}{x - 2} \le 5$

1. Найдем ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю.

$x - 2 \ne 0 \implies x \ne 2$

2. Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{2^x + 5x + 8}{x - 2} - 5 \le 0$

$\frac{2^x + 5x + 8 - 5(x-2)}{x - 2} \le 0$

$\frac{2^x + 5x + 8 - 5x + 10}{x - 2} \le 0$

$\frac{2^x + 18}{x - 2} \le 0$

3. Решим неравенство методом интервалов. Рассмотрим числитель и знаменатель.

Числитель: $2^x + 18$. Так как показательная функция $2^x$ всегда положительна ($2^x > 0$ для любого $x$), то выражение $2^x + 18$ всегда больше нуля.

4. Поскольку числитель дроби всегда положителен, знак дроби зависит только от знака знаменателя. Чтобы дробь была меньше или равна нулю, знаменатель должен быть строго меньше нуля:

$x - 2 < 0$

$x < 2$

Полученное решение удовлетворяет ОДЗ ($x \ne 2$).

Ответ: $x \in (-\infty, 2)$.

в)

Исходное неравенство:

$\sqrt{2 \log_9(3x^2 - 4)} > \log_3\sqrt{3x^2 - 4}$

1. Найдем ОДЗ. Для этого решим систему неравенств:

$\begin{cases} 3x^2 - 4 > 0 \\ 2 \log_9(3x^2 - 4) \ge 0 \end{cases}$

Из первого неравенства: $x^2 > \frac{4}{3} \implies x \in (-\infty, -\frac{2}{\sqrt{3}}) \cup (\frac{2}{\sqrt{3}}, \infty)$.

Из второго неравенства: $\log_9(3x^2 - 4) \ge 0$. Так как основание $9>1$, то $3x^2 - 4 \ge 9^0 \implies 3x^2 - 4 \ge 1 \implies 3x^2 \ge 5 \implies x^2 \ge \frac{5}{3}$.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -\sqrt{\frac{5}{3}}] \cup [\sqrt{\frac{5}{3}}, \infty)$.

Пересекая решения обоих неравенств, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty, -\sqrt{\frac{5}{3}}] \cup [\sqrt{\frac{5}{3}}, \infty)$.

2. Преобразуем обе части неравенства, приведя логарифмы к одному основанию 3:

Левая часть: $\sqrt{2 \frac{\log_3(3x^2 - 4)}{\log_3 9}} = \sqrt{2 \frac{\log_3(3x^2 - 4)}{2}} = \sqrt{\log_3(3x^2 - 4)}$.

Правая часть: $\log_3(3x^2 - 4)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \log_3(3x^2 - 4)$.

Неравенство принимает вид:

$\sqrt{\log_3(3x^2 - 4)} > \frac{1}{2} \log_3(3x^2 - 4)$

3. Сделаем замену. Пусть $t = \log_3(3x^2 - 4)$. Из ОДЗ мы знаем, что $\log_9(3x^2 - 4) \ge 0$, что эквивалентно $t \ge 0$.

Неравенство для $t$:

$\sqrt{t} > \frac{1}{2}t$

4. Решим это неравенство. Так как $t \ge 0$, обе части неотрицательны, и мы можем возвести их в квадрат:

$t > \frac{1}{4}t^2$

$t - \frac{1}{4}t^2 > 0$

$t(1 - \frac{1}{4}t) > 0$

Корни $t=0$ и $t=4$. Так как это парабола с ветвями вниз, решение неравенства: $0 < t < 4$.

5. Выполним обратную замену:

$0 < \log_3(3x^2 - 4) < 4$

Так как основание логарифма $3 > 1$, это двойное неравенство равносильно системе:

$3^0 < 3x^2 - 4 < 3^4$

$1 < 3x^2 - 4 < 81$

Разобьем на два неравенства:

а) $3x^2 - 4 > 1 \implies 3x^2 > 5 \implies x^2 > \frac{5}{3} \implies x \in (-\infty, -\sqrt{\frac{5}{3}}) \cup (\sqrt{\frac{5}{3}}, \infty)$.

б) $3x^2 - 4 < 81 \implies 3x^2 < 85 \implies x^2 < \frac{85}{3} \implies x \in (-\sqrt{\frac{85}{3}}, \sqrt{\frac{85}{3}})$.

6. Найдем пересечение полученных решений. Это будет итоговым ответом, так как он автоматически удовлетворяет ОДЗ.

$(-\sqrt{\frac{85}{3}}, -\sqrt{\frac{5}{3}}) \cup (\sqrt{\frac{5}{3}}, \sqrt{\frac{85}{3}})$

Ответ: $x \in (-\sqrt{\frac{85}{3}}, -\sqrt{\frac{5}{3}}) \cup (\sqrt{\frac{5}{3}}, \sqrt{\frac{85}{3}})$.