Номер 212, страница 427 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 212, страница 427.

Условие.

212 a) $\frac{1}{\log_{\frac{1}{2}}(2x^2 - 1)} > \frac{1}{\log_{\frac{1}{4}}x} + \frac{1}{\log_{\frac{1}{3}}x}$;

б) $\log_2(2^x - 3) \cdot \log_{\sqrt{2}}(4^{x+2} - 12 \cdot 2^{x+3} + 144) < 32$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $ \frac{1}{\log_{\frac{1}{2}}(2x^2-1)} > \frac{1}{\log_{\frac{1}{4}}x} + \frac{1}{\log_{\frac{1}{3}}x} $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными, а знаменатели не должны равняться нулю (что означает, что аргументы логарифмов не должны равняться 1).

$ \begin{cases} 2x^2 - 1 > 0 \\ x > 0 \\ 2x^2 - 1 \ne 1 \\ x \ne 1 \end{cases} $

Решим систему:

$ 2x^2 > 1 \Rightarrow x^2 > \frac{1}{2} \Rightarrow x \in (-\infty, -\frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty) $.
$ x > 0 $.
$ 2x^2 \ne 2 \Rightarrow x^2 \ne 1 \Rightarrow x \ne \pm 1 $.
$ x \ne 1 $.

Пересекая все условия, получаем ОДЗ: $ x \in (\frac{\sqrt{2}}{2}, 1) \cup (1, \infty) $.

2. Преобразуем неравенство, используя формулу перехода к новому основанию $ \log_a b = \frac{1}{\log_b a} $:

$ \log_{2x^2-1}(\frac{1}{2}) > \log_x(\frac{1}{4}) + \log_x(\frac{1}{3}) $

Используя свойства логарифмов $ \log_a (b^c) = c \log_a b $ и $ \log_a b + \log_a c = \log_a (bc) $, получаем:

$ \log_{2x^2-1}(2^{-1}) > \log_x(4^{-1}) + \log_x(3^{-1}) $

$ -\log_{2x^2-1}(2) > -\log_x(4) - \log_x(3) $

$ -\log_{2x^2-1}(2) > -(\log_x(4) + \log_x(3)) $

$ -\log_{2x^2-1}(2) > -\log_x(12) $

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$ \log_{2x^2-1}(2) < \log_x(12) $

3. Разобьем решение на два случая в соответствии с ОДЗ.

Случай 1: $ x \in (\frac{\sqrt{2}}{2}, 1) $.

В этом случае оба основания логарифмов $ a = 2x^2 - 1 $ и $ b = x $ принадлежат интервалу $ (0, 1) $. Действительно, если $ \frac{\sqrt{2}}{2} < x < 1 $, то $ \frac{1}{2} < x^2 < 1 $, откуда $ 1 < 2x^2 < 2 $ и $ 0 < 2x^2 - 1 < 1 $. Основание $ x $ также принадлежит $ (0, 1) $.

Рассмотрим неравенство $ 2x^2 - x - 1 > 0 $. Корнями уравнения $ 2x^2 - x - 1 = 0 $ являются $ x_1=1 $ и $ x_2=-1/2 $. Неравенство $ 2x^2 - x - 1 < 0 $ выполняется при $ x \in (-1/2, 1) $. Наш интервал $ (\frac{\sqrt{2}}{2}, 1) $ полностью входит в этот промежуток, следовательно, для $ x \in (\frac{\sqrt{2}}{2}, 1) $ выполняется $ 2x^2-1 < x $.

Поскольку основания $ 2x^2-1 $ и $ x $ меньше 1, логарифмические функции по этим основаниям являются убывающими. Из $ 2x^2-1 < x $ и того, что аргумент $ 2 > 1 $, следует, что $ \log_{2x^2-1}(2) > \log_x(2) $. Также, поскольку основание $ x \in (0, 1) $ и $ 2 < 12 $, то $ \log_x(2) > \log_x(12) $.

Объединяя эти два неравенства, получаем: $ \log_{2x^2-1}(2) > \log_x(2) > \log_x(12) $. Следовательно, $ \log_{2x^2-1}(2) > \log_x(12) $. Это противоречит полученному нами неравенству $ \log_{2x^2-1}(2) < \log_x(12) $. Значит, в интервале $ (\frac{\sqrt{2}}{2}, 1) $ решений нет.

Случай 2: $ x \in (1, \infty) $.

В этом случае оба основания логарифмов $ a = 2x^2 - 1 $ и $ b = x $ больше 1. Из $ x > 1 $ следует $ 2x^2 - x - 1 > 0 $, то есть $ 2x^2 - 1 > x $.

Поскольку основания $ 2x^2-1 $ и $ x $ больше 1, логарифмические функции по этим основаниям являются возрастающими. Из $ 2x^2 - 1 > x > 1 $ и того, что аргумент $ 2 > 1 $, следует, что $ \log_{2x^2-1}(2) < \log_x(2) $ (чем больше основание, тем меньше значение логарифма при аргументе большем 1). Также, поскольку основание $ x > 1 $ и $ 2 < 12 $, то $ \log_x(2) < \log_x(12) $.

Объединяя эти два неравенства, получаем: $ \log_{2x^2-1}(2) < \log_x(2) < \log_x(12) $. Следовательно, $ \log_{2x^2-1}(2) < \log_x(12) $. Это неравенство совпадает с тем, которое мы решаем, и оно справедливо для всех $ x $ из данного интервала.

Таким образом, решением неравенства является интервал $ (1, \infty) $.

Ответ: $ x \in (1, \infty) $.

---

б) $ \log_2(2^x-3) \cdot \log_{\sqrt{2}}(4^{x+2} - 12 \cdot 2^{x+3} + 144) < 32 $

1. Найдем ОДЗ.

$ \begin{cases} 2^x - 3 > 0 \\ 4^{x+2} - 12 \cdot 2^{x+3} + 144 > 0 \end{cases} $

Первое неравенство: $ 2^x > 3 \Rightarrow x > \log_2 3 $.

Преобразуем выражение во втором неравенстве: $ 4^{x+2} - 12 \cdot 2^{x+3} + 144 = (2^2)^{x+2} - 12 \cdot 2^x \cdot 2^3 + 144 = 2^{2x+4} - 96 \cdot 2^x + 144 = 16 \cdot (2^x)^2 - 96 \cdot 2^x + 144 $.

Сделаем замену $ t = 2^x $. Получим квадратное неравенство: $ 16t^2 - 96t + 144 > 0 $. Разделим на 16: $ t^2 - 6t + 9 > 0 $. Это выражение является полным квадратом: $ (t-3)^2 > 0 $. Это неравенство верно для всех $ t $, кроме $ t=3 $. Значит, $ 2^x \ne 3 $, или $ x \ne \log_2 3 $.

Объединяя условия ОДЗ $ x > \log_2 3 $ и $ x \ne \log_2 3 $, получаем: $ x > \log_2 3 $.

2. Упростим исходное неравенство. Мы уже выяснили, что $ 4^{x+2} - 12 \cdot 2^{x+3} + 144 = 16(2^x-3)^2 $. Преобразуем второй логарифм: $ \log_{\sqrt{2}}(16(2^x-3)^2) = \log_{2^{1/2}}(16(2^x-3)^2) = 2 \log_2(16(2^x-3)^2) $.

Используем свойства логарифмов: $ 2(\log_2 16 + \log_2((2^x-3)^2)) = 2(4 + 2\log_2|2^x-3|) $.

Так как по ОДЗ $ 2^x - 3 > 0 $, то $ |2^x-3| = 2^x-3 $. $ 2(4 + 2\log_2(2^x-3)) = 8 + 4\log_2(2^x-3) $.

Подставим это в исходное неравенство: $ \log_2(2^x-3) \cdot (8 + 4\log_2(2^x-3)) < 32 $.

3. Сделаем замену $ y = \log_2(2^x-3) $. $ y(8+4y) < 32 $ $ 8y + 4y^2 < 32 $ $ 4y^2 + 8y - 32 < 0 $ $ y^2 + 2y - 8 < 0 $

Найдем корни квадратного трехчлена $ y^2 + 2y - 8 = 0 $. По теореме Виета, корни $ y_1 = -4 $ и $ y_2 = 2 $. Так как парабола ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями: $ -4 < y < 2 $.

4. Вернемся к переменной $ x $: $ -4 < \log_2(2^x-3) < 2 $.

Потенцируем неравенство по основанию 2 (знаки неравенства сохраняются, так как основание 2 > 1): $ 2^{-4} < 2^x-3 < 2^2 $ $ \frac{1}{16} < 2^x-3 < 4 $.

Прибавим 3 ко всем частям двойного неравенства: $ 3 + \frac{1}{16} < 2^x < 4 + 3 $ $ \frac{49}{16} < 2^x < 7 $.

Прологарифмируем по основанию 2: $ \log_2(\frac{49}{16}) < x < \log_2 7 $.

Это решение удовлетворяет ОДЗ $ x > \log_2 3 $, так как $ \frac{49}{16} = 3.0625 > 3 $, и, следовательно, $ \log_2(\frac{49}{16}) > \log_2 3 $.

Решение можно также записать в виде $ (2\log_2 7 - 4, \log_2 7) $.

Ответ: $ x \in (\log_2(\frac{49}{16}), \log_2 7) $.