Номер 213, страница 427 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 213, страница 427.

Условие.

$213 (1 + \log_3 x) \sqrt{\log_{3x} \sqrt[3]{\frac{x}{3}}} \leq 2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решим неравенство $(1 + \log_{3x}x) \sqrt{\log_{3x} \sqrt[3]{\frac{x}{3}}} \le 2$.

Область допустимых значений (ОДЗ)

Неравенство имеет смысл, если выполнены следующие условия:

1. Основание логарифма $3x > 0$ и $3x \ne 1$. Отсюда $x > 0$ и $x \ne \frac{1}{3}$.
2. Аргумент логарифма $x > 0$. Это условие уже учтено в первом пункте.
3. Выражение под корнем неотрицательно: $\log_{3x} \sqrt[3]{\frac{x}{3}} \ge 0$.

Решим последнее условие, используя метод рационализации для логарифмов $\log_a b \ge 0 \iff (a-1)(b-1) \ge 0$ (при выполнении условий $a>0, b>0, a\ne 1$):

$(3x-1)(\sqrt[3]{\frac{x}{3}} - 1) \ge 0$

Рассмотрим знаки множителей на интервалах, учитывая $x>0$ и $x \ne 1/3$.

• Если $x \in (0, 1/3)$, то $3x-1 < 0$ и $\sqrt[3]{\frac{x}{3}} - 1 < 0$ (так как $x/3 < 1/9 < 1$). Произведение $(-) \cdot (-) = (+)$ положительно.
• Если $x \in (1/3, 3)$, то $3x-1 > 0$ и $\sqrt[3]{\frac{x}{3}} - 1 < 0$. Произведение $(+) \cdot (-) = (-)$ отрицательно.
• Если $x \in (3, \infty)$, то $3x-1 > 0$ и $\sqrt[3]{\frac{x}{3}} - 1 > 0$. Произведение $(+) \cdot (+) = (+)$ положительно.

Также проверим точку $x=3$, где второй множитель равен нулю. Неравенство $0 \ge 0$ выполняется, поэтому $x=3$ входит в решение.

Таким образом, условие $\log_{3x} \sqrt[3]{\frac{x}{3}} \ge 0$ выполняется при $x \in (0, 1/3) \cup [3, \infty)$.

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in (0, 1/3) \cup [3, \infty)$.

Преобразование и решение неравенства

Для упрощения неравенства сделаем замену $A = \log_{3x} x$.

Воспользуемся свойством логарифма $\log_{3x}(3x) = 1$, что равносильно $\log_{3x} 3 + \log_{3x} x = 1$. Отсюда получаем выражение для логарифма от числа 3:

$\log_{3x} 3 = 1 - \log_{3x} x = 1 - A$.

Теперь преобразуем выражение под корнем:

$\log_{3x} \sqrt[3]{\frac{x}{3}} = \frac{1}{3} \log_{3x} \left(\frac{x}{3}\right) = \frac{1}{3} (\log_{3x} x - \log_{3x} 3) = \frac{1}{3} (A - (1-A)) = \frac{2A-1}{3}$.

Подставив все в исходное неравенство, получим неравенство относительно переменной $A$:

$(1 + A) \sqrt{\frac{2A - 1}{3}} \le 2$.

Найдем область значений для переменной $A$. Из определения $A = \log_{3x} x$ следует $(3x)^A = x \implies 3^A x^A = x \implies x^{1-A} = 3^A$. Если $A \ne 1$, то $x = (3^A)^{\frac{1}{1-A}} = 3^{\frac{A}{1-A}}$.

Рассмотрим ОДЗ для $x$:

• Если $x \in [3, \infty)$, то $\log_3 x \ge 1$. Так как $\log_3 x = \frac{A}{1-A}$, получаем $\frac{A}{1-A} \ge 1 \implies \frac{A-(1-A)}{1-A} \ge 0 \implies \frac{2A-1}{1-A} \ge 0$. Решая это неравенство, получаем $A \in [1/2, 1)$.
• Если $x \in (0, 1/3)$, то $\log_3 x < -1$. Получаем $\frac{A}{1-A} < -1 \implies \frac{A+(1-A)}{1-A} < 0 \implies \frac{1}{1-A} < 0 \implies 1-A < 0 \implies A > 1$. Таким образом, $A \in (1, \infty)$.

Область допустимых значений для $A$ есть $[1/2, 1) \cup (1, \infty)$. На этой области $A \ge 1/2$, поэтому $2A-1 \ge 0$. Также $1+A > 0$. Обе части неравенства $(1 + A) \sqrt{\frac{2A - 1}{3}} \le 2$ неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат:

$(1+A)^2 \frac{2A-1}{3} \le 4$

$(1+2A+A^2)(2A-1) \le 12$

$2A - 1 + 4A^2 - 2A + 2A^3 - A^2 \le 12$

$2A^3 + 3A^2 - 1 \le 12$

$2A^3 + 3A^2 - 13 \le 0$

Пусть $f(A) = 2A^3 + 3A^2 - 13$. Исследуем эту функцию. Ее производная $f'(A) = 6A^2 + 6A = 6A(A+1)$. На области $[1/2, 1) \cup (1, \infty)$ производная $f'(A) > 0$, следовательно, функция $f(A)$ строго возрастает. Это означает, что уравнение $f(A) = 0$ имеет не более одного корня.Найдем значения функции на границах интервалов: $f(1) = 2+3-13 = -8 < 0$ и $f(2) = 2(8)+3(4)-13 = 16+12-13 = 15 > 0$.Так как функция непрерывна и возрастает, существует единственный действительный корень $A_0 \in (1, 2)$, такой что $f(A_0) = 0$.Неравенство $f(A) \le 0$ выполняется для $A \le A_0$.

Совмещая с областью допустимых значений для $A$, получаем решение для $A$: $A \in [1/2, 1) \cup (1, A_0]$.

Возврат к исходной переменной

Теперь вернемся к переменной $x$, используя связь $x = 3^{\frac{A}{1-A}}$. Пусть $h(A) = \frac{A}{1-A}$. Эта функция возрастает на каждом из интервалов своей области определения.

• При $A \in [1/2, 1)$: $h(1/2) = \frac{1/2}{1-1/2} = 1$. При $A \to 1^-$, $h(A) \to +\infty$. Значит, $\log_3 x = h(A) \in [1, \infty)$, что дает $x \in [3, \infty)$.
• При $A \in (1, A_0]$: При $A \to 1^+$, $h(A) \to -\infty$. $h(A_0) = \frac{A_0}{1-A_0}$. Значит, $\log_3 x = h(A) \in (-\infty, \frac{A_0}{1-A_0}]$, что дает $x \in (0, 3^{\frac{A_0}{1-A_0}}]$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (0, 3^{\frac{A_0}{1-A_0}}] \cup [3, \infty)$, где $A_0$ — единственный действительный корень уравнения $2A^3+3A^2-13=0$.