Номер 211, страница 427 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 211, страница 427.

Условие.

211 a) $\frac{1}{\left(\sqrt{\frac{2-x}{x}} - \frac{x+1}{2x}\right)^2} \ge 0;$

б) $\frac{1}{\left(\sqrt{\frac{1-x}{x+1}} - \frac{x+2}{2x+2}\right)^2} \ge 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Рассмотрим неравенство $\frac{1}{(\sqrt{\frac{2-x}{x}} - \frac{x+1}{2x})^2} \ge 0$.

Числитель дроби равен 1, что является положительным числом. Знаменатель представляет собой выражение в квадрате, которое всегда неотрицательно, т.е. $(\sqrt{\frac{2-x}{x}} - \frac{x+1}{2x})^2 \ge 0$.

Дробь будет положительной, если ее знаменатель не равен нулю. Поскольку числитель не равен нулю, вся дробь не может быть равна нулю. Таким образом, исходное неравенство равносильно тому, что выражение в левой части определено и знаменатель не равен нулю.

Это приводит к системе условий (область допустимых значений):

$ \begin{cases} \frac{2-x}{x} \ge 0 \\ x \ne 0 \\ \sqrt{\frac{2-x}{x}} - \frac{x+1}{2x} \ne 0 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство методом интервалов:

$\frac{2-x}{x} \ge 0$

Нули числителя: $2-x=0 \Rightarrow x=2$.

Нули знаменателя: $x=0$.

На числовой прямой отмечаем точки 0 (выколотая) и 2 (закрашенная) и определяем знаки на интервалах. Решением является промежуток $x \in (0, 2]$. Условие $x \ne 0$ здесь учтено.

2. Решим уравнение, чтобы найти значения, при которых знаменатель обращается в ноль:

$\sqrt{\frac{2-x}{x}} - \frac{x+1}{2x} = 0 \Rightarrow \sqrt{\frac{2-x}{x}} = \frac{x+1}{2x}$

Поскольку левая часть (арифметический квадратный корень) неотрицательна, правая часть также должна быть неотрицательной: $\frac{x+1}{2x} \ge 0$. Это выполняется при $x \in (-\infty, -1] \cup (0, \infty)$.

Пересекая это условие с найденной областью $x \in (0, 2]$, получаем, что на всей области $(0, 2]$ правая часть неотрицательна. Следовательно, можно возвести обе части уравнения в квадрат:

$\frac{2-x}{x} = (\frac{x+1}{2x})^2$

$\frac{2-x}{x} = \frac{x^2+2x+1}{4x^2}$

Умножим обе части на $4x^2$ (так как $x \ne 0$):

$4x(2-x) = x^2+2x+1$

$8x - 4x^2 = x^2+2x+1$

$5x^2 - 6x + 1 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 - 20 = 16$.

$x_1 = \frac{6 - \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{6 - 4}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

$x_2 = \frac{6 + \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{6 + 4}{10} = \frac{10}{10} = 1$

Оба корня, $x = 1/5$ и $x = 1$, принадлежат интервалу $(0, 2]$. В этих точках знаменатель исходной дроби равен нулю, поэтому их нужно исключить из решения.

Объединяя все условия, получаем, что решением неравенства является область допустимых значений $x \in (0, 2]$ за исключением точек $x = 1/5$ и $x = 1$.

Ответ: $x \in (0, 1/5) \cup (1/5, 1) \cup (1, 2]$.

б)

Рассмотрим неравенство $\frac{1}{(\sqrt{\frac{1-x}{x+1}} - \frac{x+2}{2x+2})^2} \ge 0$.

Аналогично пункту а), данное неравенство равносильно системе условий, определяющей область допустимых значений (ОДЗ) и исключающей равенство знаменателя нулю.

$ \begin{cases} \frac{1-x}{x+1} \ge 0 \\ x+1 \ne 0 \\ \sqrt{\frac{1-x}{x+1}} - \frac{x+2}{2(x+1)} \ne 0 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство методом интервалов:

$\frac{1-x}{x+1} \ge 0$

Нули числителя: $1-x=0 \Rightarrow x=1$.

Нули знаменателя: $x+1=0 \Rightarrow x=-1$.

На числовой прямой отмечаем точки -1 (выколотая) и 1 (закрашенная). Решением является промежуток $x \in (-1, 1]$. Условие $x \ne -1$ учтено.

2. Решим уравнение, чтобы найти значения, при которых знаменатель равен нулю:

$\sqrt{\frac{1-x}{x+1}} = \frac{x+2}{2(x+1)}$

Требуем неотрицательность правой части: $\frac{x+2}{2(x+1)} \ge 0$. Это выполняется при $x \in (-\infty, -2] \cup (-1, \infty)$.

Пересекая это условие с найденной областью $x \in (-1, 1]$, получаем, что на всей области $(-1, 1]$ правая часть неотрицательна. Возводим обе части уравнения в квадрат:

$\frac{1-x}{x+1} = (\frac{x+2}{2(x+1)})^2$

$\frac{1-x}{x+1} = \frac{(x+2)^2}{4(x+1)^2}$

Умножим обе части на $4(x+1)^2$ (так как $x \ne -1$):

$4(1-x)(x+1) = (x+2)^2$

$4(1-x^2) = x^2+4x+4$

$4 - 4x^2 = x^2+4x+4$

$5x^2 + 4x = 0$

$x(5x+4) = 0$

Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 0$

$x_2 = -4/5$

Оба корня, $x = 0$ и $x = -4/5$, принадлежат интервалу $(-1, 1]$. В этих точках знаменатель равен нулю, и их необходимо исключить.

Решением неравенства является область $x \in (-1, 1]$ за исключением точек $x = -4/5$ и $x = 0$.

Ответ: $x \in (-1, -4/5) \cup (-4/5, 0) \cup (0, 1]$.