Номер 204, страница 426 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 204, страница 426.

Условие.

204 а) $\frac{|x - 4| - \sqrt{x - 2}}{4\sqrt{10 - x} + x - 13} \ge 0;$

б) $\frac{x - 11 + 5\sqrt{7 - x}}{|x - 1| - \sqrt{x + 1}} \le 0;$

в) $\frac{|x - 5| - \sqrt{x - 3}}{2\sqrt{11 - x} + x - 12} \ge 0;$

г) $\frac{x + 2 - 7\sqrt{6 - x}}{|x - 3| - \sqrt{x + 3}} \le 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Решим неравенство $ \frac{|x-4| - \sqrt{x-2}}{4\sqrt{10-x} + x - 13} \ge 0 $.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Система условий:
$ \begin{cases} x - 2 \ge 0 \\ 10 - x \ge 0 \\ 4\sqrt{10-x} + x - 13 \ne 0 \end{cases} $
Из первых двух неравенств получаем $ x \ge 2 $ и $ x \le 10 $, то есть $ x \in [2, 10] $.
Решим уравнение знаменателя: $ 4\sqrt{10-x} + x - 13 = 0 \implies 4\sqrt{10-x} = 13-x $. Возводим в квадрат обе части (при условии $ 13-x \ge 0 $, что выполняется для $ x \le 10 $):
$ 16(10-x) = (13-x)^2 $
$ 160 - 16x = 169 - 26x + x^2 $
$ x^2 - 10x + 9 = 0 $
Корни этого уравнения $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = 9 $. Корень $ x=1 $ не входит в промежуток $ [2, 10] $. Корень $ x=9 $ входит. Значит, $ x \ne 9 $.
ОДЗ: $ x \in [2, 9) \cup (9, 10] $.

2. Найдем нули числителя.
$ |x-4| - \sqrt{x-2} = 0 \implies |x-4| = \sqrt{x-2} $. Возводим в квадрат:
$ (x-4)^2 = x-2 $
$ x^2 - 8x + 16 = x-2 $
$ x^2 - 9x + 18 = 0 $
Корни $ x_1=3 $ и $ x_2=6 $. Оба корня входят в ОДЗ.

3. Применим метод интервалов. Нанесем на числовую прямую точки из ОДЗ, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль: $ 3, 6, 9 $. Эти точки разбивают ОДЗ $ [2, 10] $ на интервалы.
Определим знаки числителя $ f(x) = |x-4| - \sqrt{x-2} $ и знаменателя $ g(x) = 4\sqrt{10-x} + x - 13 $ на каждом интервале.
- Интервал $ [2, 3] $: $ f(2.5) = 1.5 - \sqrt{0.5} > 0 $. $ g(2) = 8\sqrt{2}-11 > 0 $. Знак дроби: $ \frac{+}{+} = + $. - Интервал $ [3, 6] $: $ f(4) = -\sqrt{2} < 0 $. $ g(4) = 4\sqrt{6}-9 > 0 $. Знак дроби: $ \frac{-}{+} = - $. - Интервал $ [6, 9) $: $ f(7) = 3 - \sqrt{5} > 0 $. $ g(7) = 4\sqrt{3}-6 > 0 $. Знак дроби: $ \frac{+}{+} = + $. - Интервал $ (9, 10] $: $ f(10) = 6-\sqrt{8} > 0 $. $ g(10) = -3 < 0 $. Знак дроби: $ \frac{+}{-} = - $.

Неравенство имеет вид $ \ge 0 $, поэтому нас интересуют интервалы со знаком "+", а также точки, где числитель равен нулю ($x=3, x=6$).
Объединяя результаты, получаем решение: $ [2, 3] \cup [6, 9) $.

Ответ: $ [2, 3] \cup [6, 9) $.

б)

Решим неравенство $ \frac{x - 11 + 5\sqrt{7-x}}{|x-1| - \sqrt{x+1}} \le 0 $.

1. Найдем ОДЗ.
Система условий:
$ \begin{cases} 7 - x \ge 0 \\ x + 1 \ge 0 \\ |x-1| - \sqrt{x+1} \ne 0 \end{cases} $
Из первых двух неравенств: $ x \le 7 $ и $ x \ge -1 $, то есть $ x \in [-1, 7] $.
Решим уравнение знаменателя: $ |x-1| = \sqrt{x+1} $. Возводим в квадрат: $ (x-1)^2 = x+1 \implies x^2 - 2x + 1 = x+1 \implies x^2 - 3x = 0 $. Корни $ x_1=0 $ и $ x_2=3 $. Оба корня входят в промежуток $ [-1, 7] $, их нужно исключить. ОДЗ: $ x \in [-1, 0) \cup (0, 3) \cup (3, 7] $.

2. Найдем нули числителя.
$ x - 11 + 5\sqrt{7-x} = 0 \implies 5\sqrt{7-x} = 11-x $. Возводим в квадрат (при $ 11-x \ge 0 $, т.е. $ x \le 11 $, что верно для ОДЗ):
$ 25(7-x) = (11-x)^2 $
$ 175 - 25x = 121 - 22x + x^2 $
$ x^2 + 3x - 54 = 0 $
Корни: $ x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4(-54)}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{225}}{2} = \frac{-3 \pm 15}{2} $.
$ x_1 = 6 $, $ x_2 = -9 $. Корень $ x_2 = -9 $ не входит в ОДЗ. Корень $ x_1 = 6 $ входит в ОДЗ.

3. Применим метод интервалов. Критические точки: $ 0, 3, 6 $. Определим знаки числителя $ f(x) $ и знаменателя $ g(x) $.
- Интервал $ [-1, 0) $: $ f(-1) = -12+5\sqrt{8} > 0 $. $ g(-0.5) = 1.5 - \sqrt{0.5} > 0 $. Знак дроби: $ \frac{+}{+} = + $. - Интервал $ (0, 3) $: $ f(1) = -10+5\sqrt{6} > 0 $. $ g(1) = -\sqrt{2} < 0 $. Знак дроби: $ \frac{+}{-} = - $. - Интервал $ (3, 6] $: $ f(4) = -7+5\sqrt{3} > 0 $. $ g(4) = 3-\sqrt{5} > 0 $. Знак дроби: $ \frac{+}{+} = + $. - Интервал $ [6, 7] $: $ f(7) = -4 < 0 $. $ g(7) = 6 - \sqrt{8} > 0 $. Знак дроби: $ \frac{-}{+} = - $.

Неравенство имеет вид $ \le 0 $, поэтому нас интересуют интервалы со знаком "-", а также точка, где числитель равен нулю ($x=6$).
Объединяя результаты, получаем решение: $ (0, 3) \cup [6, 7] $.

Ответ: $ (0, 3) \cup [6, 7] $.

в)

Решим неравенство $ \frac{|x-5| - \sqrt{x-3}}{2\sqrt{11-x} + x - 12} \ge 0 $.

1. Найдем ОДЗ.
Система условий:
$ \begin{cases} x - 3 \ge 0 \\ 11 - x \ge 0 \\ 2\sqrt{11-x} + x - 12 \ne 0 \end{cases} $
Из первых двух неравенств: $ x \ge 3 $ и $ x \le 11 $, то есть $ x \in [3, 11] $.
Решим уравнение знаменателя: $ 2\sqrt{11-x} = 12-x $. Возводим в квадрат (при $ 12-x \ge 0 $, т.е. $ x \le 12 $, что верно для ОДЗ):
$ 4(11-x) = (12-x)^2 \implies 44 - 4x = 144 - 24x + x^2 \implies x^2 - 20x + 100 = 0 $. $ (x-10)^2 = 0 \implies x=10 $. Этот корень нужно исключить. ОДЗ: $ x \in [3, 10) \cup (10, 11] $.

2. Найдем нули числителя.
$ |x-5| - \sqrt{x-3} = 0 \implies |x-5| = \sqrt{x-3} $. Возводим в квадрат: $ (x-5)^2 = x-3 \implies x^2 - 10x + 25 = x-3 \implies x^2 - 11x + 28 = 0 $. Корни $ x_1=4 $ и $ x_2=7 $. Оба корня входят в ОДЗ.

3. Применим метод интервалов. Критические точки: $ 4, 7, 10 $. Знаменатель $ g(x) = 2\sqrt{11-x} + x - 12 $. Мы нашли, что $ g(x)=0 $ только при $ x=10 $. Так как $ g(x) $ является результатом возведения в квадрат выражения $ (x-10)^2=0 $, а $g(x)$ непрерывна, проверим знак в любой точке, например, $ g(3) = 2\sqrt{8}-9 < 0 $. Значит, $ g(x) \le 0 $ на всей ОДЗ. Поскольку знаменатель отрицателен всюду на ОДЗ (кроме точки $x=10$), исходное неравенство $ \frac{f(x)}{g(x)} \ge 0 $ эквивалентно неравенству $ f(x) \le 0 $ на ОДЗ.
Решаем $ |x-5| - \sqrt{x-3} \le 0 $.
Нули этого выражения: $ x=4 $ и $ x=7 $. Возьмем пробную точку $ x=5 $ из интервала $ (4, 7) $: $ |5-5|-\sqrt{5-3} = -\sqrt{2} < 0 $. Следовательно, решение неравенства $ f(x) \le 0 $ есть отрезок $ [4, 7] $. Этот отрезок полностью входит в ОДЗ $ [3, 10) \cup (10, 11] $.

Ответ: $ [4, 7] $.

г)

Решим неравенство $ \frac{x + 2 - 7\sqrt{6-x}}{|x-3| - \sqrt{x+3}} \le 0 $.

1. Найдем ОДЗ.
Система условий:
$ \begin{cases} 6 - x \ge 0 \\ x + 3 \ge 0 \\ |x-3| - \sqrt{x+3} \ne 0 \end{cases} $
Из первых двух неравенств: $ x \le 6 $ и $ x \ge -3 $, то есть $ x \in [-3, 6] $.
Решим уравнение знаменателя: $ |x-3| = \sqrt{x+3} $. Возводим в квадрат: $ (x-3)^2 = x+3 \implies x^2 - 6x + 9 = x+3 \implies x^2 - 7x + 6 = 0 $. Корни $ x_1=1 $ и $ x_2=6 $. Оба корня входят в промежуток $ [-3, 6] $, их нужно исключить. ОДЗ: $ x \in [-3, 1) \cup (1, 6) $.

2. Найдем нули числителя.
$ x + 2 - 7\sqrt{6-x} = 0 \implies x+2 = 7\sqrt{6-x} $. Возводим в квадрат (при $ x+2 \ge 0 $, т.е. $ x \ge -2 $, что сужает ОДЗ для этого шага до $ [-2, 1) \cup (1, 6) $):
$ (x+2)^2 = 49(6-x) \implies x^2 + 4x + 4 = 294 - 49x \implies x^2 + 53x - 290 = 0 $.
Корни: $ x = \frac{-53 \pm \sqrt{53^2 - 4(-290)}}{2} = \frac{-53 \pm \sqrt{3969}}{2} = \frac{-53 \pm 63}{2} $.
$ x_1 = 5 $, $ x_2 = -58 $. Корень $ x_2 = -58 $ является посторонним ($ -58 < -2 $). Корень $ x_1 = 5 $ входит в ОДЗ.

3. Применим метод интервалов. Критические точки: $ 1, 5 $. Определим знаки числителя $ f(x) $ и знаменателя $ g(x) $ на интервалах ОДЗ.
- Интервал $ [-3, 1) $: $ f(-3) = -1-7\sqrt{9} < 0 $. $ g(0) = 3-\sqrt{3} > 0 $. Знак дроби: $ \frac{-}{+} = - $. - Интервал $ (1, 5] $: $ f(2) = 4-7\sqrt{4} < 0 $. $ g(2) = 1-\sqrt{5} < 0 $. Знак дроби: $ \frac{-}{-} = + $. - Интервал $ [5, 6) $: $ f(5.5) = 7.5-7\sqrt{0.5} > 0 $. $ g(5.5) = 2.5-\sqrt{8.5} < 0 $. Знак дроби: $ \frac{+}{-} = - $.

Неравенство имеет вид $ \le 0 $, поэтому нас интересуют интервалы со знаком "-", а также точка, где числитель равен нулю ($x=5$).
Объединяя результаты, получаем решение: $ [-3, 1) \cup [5, 6) $.

Ответ: $ [-3, 1) \cup [5, 6) $.