Номер 200, страница 426 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 200, страница 426.

Условие.

200 a) $\frac{(2x-5)(32^{\frac{1}{x}}-4)}{(3^x-8)(x^4+4x+20)} \ge 0;$

б) $\frac{(2x-3)(27^{\frac{1}{x}}-9)}{(2^x-5)(x^4-2x+10)} \le 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Рассмотрим неравенство:

$\frac{(2x - 5)(32^{\frac{1}{x}} - 4)}{(3^x - 8)(x^4 + 4x + 20)} \ge 0$

1. Найдем область определения (ОДЗ).
Знаменатель не должен быть равен нулю, и выражение под степенью с переменной в знаменателе должно быть определено.
1) $x \ne 0$ из-за члена $32^{\frac{1}{x}}$.
2) $3^x - 8 \ne 0 \implies 3^x \ne 8 \implies x \ne \log_3 8$.
3) Рассмотрим множитель $x^4 + 4x + 20$. Найдем его наименьшее значение с помощью производной. Пусть $f(x) = x^4 + 4x + 20$.
$f'(x) = 4x^3 + 4 = 4(x^3 + 1)$.
$f'(x) = 0$ при $x = -1$. Это точка минимума, так как при $x < -1$ производная отрицательна (функция убывает), а при $x > -1$ производная положительна (функция возрастает).
Минимальное значение функции: $f(-1) = (-1)^4 + 4(-1) + 20 = 1 - 4 + 20 = 17$.
Так как наименьшее значение выражения $x^4 + 4x + 20$ равно 17 (положительное число), то $x^4 + 4x + 20 > 0$ при всех действительных $x$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, \log_3 8) \cup (\log_3 8, +\infty)$.

2. Упростим неравенство.
Поскольку $x^4 + 4x + 20$ всегда положителен, мы можем умножить на него обе части неравенства, не меняя знака:
$\frac{(2x - 5)(32^{\frac{1}{x}} - 4)}{3^x - 8} \ge 0$.

3. Применим метод рационализации (метод замены множителей).
Знак выражения $a^{f(x)} - a^{g(x)}$ совпадает со знаком выражения $(a-1)(f(x) - g(x))$.
- Для множителя $(32^{\frac{1}{x}} - 4) = ((2^5)^{\frac{1}{x}} - 2^2) = (2^{\frac{5}{x}} - 2^2)$, основание $a=2 > 1$. Его знак совпадает со знаком выражения $(\frac{5}{x} - 2) = \frac{5-2x}{x}$.
- Для множителя $(3^x - 8) = (3^x - 3^{\log_3 8})$, основание $a=3 > 1$. Его знак совпадает со знаком выражения $(x - \log_3 8)$.
Исходное неравенство на ОДЗ эквивалентно следующему:
$\frac{(2x - 5) \cdot \frac{5-2x}{x}}{x - \log_3 8} \ge 0$
$\frac{(2x - 5) \cdot \frac{-(2x-5)}{x}}{x - \log_3 8} \ge 0$
$\frac{-(2x - 5)^2}{x(x - \log_3 8)} \ge 0$
Умножим на -1, изменив знак неравенства:
$\frac{(2x - 5)^2}{x(x - \log_3 8)} \le 0$.

4. Решим полученное рациональное неравенство.
Неравенство выполняется в двух случаях:
а) Дробь равна нулю. Это возможно, когда числитель равен нулю:
$(2x - 5)^2 = 0 \implies 2x - 5 = 0 \implies x = 2.5$.
Проверим, входит ли $x=2.5$ в ОДЗ. $2.5 \ne 0$ и $2.5 \ne \log_3 8$ (так как $\log_3 9 = 2$, а $\log_3 3 = 1$, то $1 < \log_3 8 < 2$, следовательно $2.5 \ne \log_3 8$). Значит, $x=2.5$ является решением.
б) Дробь меньше нуля. Так как числитель $(2x - 5)^2$ всегда неотрицателен, для $x \ne 2.5$ он строго положителен. Следовательно, знаменатель должен быть строго отрицательным:
$x(x - \log_3 8) < 0$.
Корни знаменателя: $x=0$ и $x=\log_3 8$. Решая методом интервалов, получаем:
$0 < x < \log_3 8$.

5. Объединим найденные решения.
Решением является интервал $(0, \log_3 8)$ и изолированная точка $x=2.5$.
Ответ: $(0, \log_3 8) \cup \{2.5\}$.

б)

Рассмотрим неравенство:

$\frac{(2x - 3)(27^{\frac{1}{x}} - 9)}{(2^x - 5)(x^4 - 2x + 10)} \le 0$

1. Найдем область определения (ОДЗ).
1) $x \ne 0$ из-за члена $27^{\frac{1}{x}}$.
2) $2^x - 5 \ne 0 \implies 2^x \ne 5 \implies x \ne \log_2 5$.
3) Рассмотрим множитель $x^4 - 2x + 10$. Найдем его наименьшее значение. Пусть $g(x) = x^4 - 2x + 10$.
$g'(x) = 4x^3 - 2 = 2(2x^3 - 1)$.
$g'(x) = 0$ при $2x^3 = 1 \implies x^3 = 1/2 \implies x = \sqrt[3]{1/2}$. Это точка минимума.
Минимальное значение функции: $g(\sqrt[3]{1/2}) = (\sqrt[3]{1/2})^4 - 2\sqrt[3]{1/2} + 10 = (\frac{1}{2})^{4/3} - 2(\frac{1}{2})^{1/3} + 10 = \frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{1}{2}} - 2\sqrt[3]{\frac{1}{2}} + 10 = 10 - \frac{3}{2}\sqrt[3]{\frac{1}{2}} = 10 - \frac{3}{\sqrt[3]{16}}$.
Так как $\sqrt[3]{16} > \sqrt[3]{8} = 2$, то $\frac{3}{\sqrt[3]{16}} < \frac{3}{2} = 1.5$. Следовательно, $10 - \frac{3}{\sqrt[3]{16}} > 10 - 1.5 = 8.5 > 0$.
Значит, $x^4 - 2x + 10 > 0$ при всех действительных $x$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, \log_2 5) \cup (\log_2 5, +\infty)$.

2. Упростим неравенство.
Так как $x^4 - 2x + 10 > 0$ для всех $x$, неравенство равносильно:
$\frac{(2x - 3)(27^{\frac{1}{x}} - 9)}{2^x - 5} \le 0$.

3. Применим метод рационализации.
- Множитель $(27^{\frac{1}{x}} - 9) = ((3^3)^{\frac{1}{x}} - 3^2) = (3^{\frac{3}{x}} - 3^2)$. Знак совпадает со знаком $(\frac{3}{x} - 2) = \frac{3-2x}{x}$.
- Множитель $(2^x - 5) = (2^x - 2^{\log_2 5})$. Знак совпадает со знаком $(x - \log_2 5)$.
Неравенство на ОДЗ эквивалентно:
$\frac{(2x - 3) \cdot \frac{3-2x}{x}}{x - \log_2 5} \le 0$
$\frac{(2x - 3) \cdot \frac{-(2x-3)}{x}}{x - \log_2 5} \le 0$
$\frac{-(2x - 3)^2}{x(x - \log_2 5)} \le 0$
Умножим на -1, изменив знак неравенства:
$\frac{(2x - 3)^2}{x(x - \log_2 5)} \ge 0$.

4. Решим полученное неравенство.
Неравенство выполняется в двух случаях:
а) Дробь равна нулю. Это возможно, когда числитель равен нулю:
$(2x - 3)^2 = 0 \implies 2x - 3 = 0 \implies x = 1.5$.
Проверим, входит ли $x=1.5$ в ОДЗ. $1.5 \ne 0$ и $1.5 \ne \log_2 5$ (так как $\log_2 4 = 2$, то $\log_2 5 > 2$, следовательно $1.5 \ne \log_2 5$). Значит, $x=1.5$ является решением.
б) Дробь больше нуля. Так как числитель $(2x - 3)^2$ всегда неотрицателен, для $x \ne 1.5$ он строго положителен. Следовательно, знаменатель должен быть строго положительным:
$x(x - \log_2 5) > 0$.
Корни знаменателя: $x=0$ и $x=\log_2 5$. Решая методом интервалов, получаем, что выражение положительно при $x$ вне отрезка $[0, \log_2 5]$:
$x < 0$ или $x > \log_2 5$.
Это соответствует объединению интервалов $(-\infty, 0) \cup (\log_2 5, +\infty)$.

5. Объединим найденные решения.
Решением является объединение интервалов $(-\infty, 0) \cup (\log_2 5, +\infty)$ и изолированной точки $x=1.5$.
Ответ: $(-\infty, 0) \cup \{1.5\} \cup (\log_2 5, +\infty)$.