Номер 206, страница 427 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Задания для повторения - номер 206, страница 427.
№206 (с. 427)
Условие. №206 (с. 427)
скриншот условия

206 a) $2^x + 2^{|x|} \ge 2\sqrt{2}$
б) $3^x + 3^{|x|} \le 3$
Решение 1. №206 (с. 427)


Решение 2. №206 (с. 427)



Решение 4. №206 (с. 427)
Решим неравенство $2^x + 2^{|x|} \ge 2\sqrt{2}$.
Для решения неравенства с модулем рассмотрим два случая.
Случай 1: $x \ge 0$
При $x \ge 0$ имеем $|x| = x$. Неравенство принимает вид:
$2^x + 2^x \ge 2\sqrt{2}$
$2 \cdot 2^x \ge 2\sqrt{2}$
Разделим обе части на 2:
$2^x \ge \sqrt{2}$
Представим правую часть в виде степени с основанием 2: $\sqrt{2} = 2^{1/2}$.
$2^x \ge 2^{1/2}$
Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция $y=2^t$ является возрастающей. Поэтому можно перейти к неравенству для показателей:
$x \ge 1/2$
Это решение удовлетворяет условию $x \ge 0$. Таким образом, в первом случае решением является промежуток $[1/2, +\infty)$.
Случай 2: $x < 0$
При $x < 0$ имеем $|x| = -x$. Неравенство принимает вид:
$2^x + 2^{-x} \ge 2\sqrt{2}$
Введем замену $t = 2^x$. Поскольку $x < 0$, то $0 < 2^x < 2^0$, следовательно $0 < t < 1$. Неравенство в терминах $t$:
$t + \frac{1}{t} \ge 2\sqrt{2}$
Так как $t>0$, умножим обе части на $t$, не меняя знака неравенства:
$t^2 + 1 \ge 2\sqrt{2}t$
$t^2 - 2\sqrt{2}t + 1 \ge 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 2\sqrt{2}t + 1 = 0$:
$t_{1,2} = \frac{-(-2\sqrt{2}) \pm \sqrt{(-2\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2} = \frac{2\sqrt{2} \pm \sqrt{8 - 4}}{2} = \frac{2\sqrt{2} \pm 2}{2} = \sqrt{2} \pm 1$.
Графиком функции $y = t^2 - 2\sqrt{2}t + 1$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется, когда $t$ находится вне интервала между корнями:
$t \le \sqrt{2}-1$ или $t \ge \sqrt{2}+1$.
Возвращаемся к переменной $x$ с учетом условия $0 < t < 1$:
1) $2^x \le \sqrt{2}-1$. Так как $\sqrt{2}-1 \approx 1.414 - 1 = 0.414$, это значение попадает в интервал $(0,1)$. Прологарифмировав по основанию 2, получим $x \le \log_2(\sqrt{2}-1)$. Это решение удовлетворяет условию $x < 0$.
2) $2^x \ge \sqrt{2}+1$. Так как $\sqrt{2}+1 > 1$, это противоречит условию $0 < t < 1$. Решений в этом подслучае нет.
Решением во втором случае является промежуток $(-\infty, \log_2(\sqrt{2}-1)]$.
Объединяя решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ.
Ответ: $x \in (-\infty, \log_2(\sqrt{2}-1)] \cup [1/2, +\infty)$.
б)Решим неравенство $3^x + 3^{|x|} \le 3$.
Для решения неравенства с модулем рассмотрим два случая.
Случай 1: $x \ge 0$
При $x \ge 0$ имеем $|x| = x$. Неравенство принимает вид:
$3^x + 3^x \le 3$
$2 \cdot 3^x \le 3$
$3^x \le 3/2$
Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей. Прологарифмируем обе части по основанию 3:
$x \le \log_3(3/2)$
Используя свойство логарифма частного, можно записать $x \le \log_3(3) - \log_3(2)$, то есть $x \le 1 - \log_3(2)$.
С учетом условия $x \ge 0$, решение для этого случая: $0 \le x \le 1 - \log_3(2)$.
Случай 2: $x < 0$
При $x < 0$ имеем $|x| = -x$. Неравенство принимает вид:
$3^x + 3^{-x} \le 3$
Введем замену $t = 3^x$. Поскольку $x < 0$, то $0 < 3^x < 3^0$, следовательно $0 < t < 1$. Неравенство в терминах $t$:
$t + \frac{1}{t} \le 3$
Так как $t>0$, умножим обе части на $t$, не меняя знака неравенства:
$t^2 + 1 \le 3t$
$t^2 - 3t + 1 \le 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 3t + 1 = 0$:
$t_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$.
Графиком функции $y = t^2 - 3t + 1$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется, когда $t$ находится между корнями:
$\frac{3 - \sqrt{5}}{2} \le t \le \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$.
Теперь учтем ограничение $0 < t < 1$. Оценим значения корней: $\sqrt{5} \approx 2.236$.
$t_1 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \approx \frac{3-2.236}{2} \approx 0.382$. Это значение удовлетворяет $0 < t_1 < 1$.
$t_2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \approx \frac{3+2.236}{2} \approx 2.618$. Это значение больше 1.
Пересечение решения для $t$ с ограничением $0 < t < 1$ дает: $\frac{3 - \sqrt{5}}{2} \le t < 1$.
Возвращаемся к переменной $x$:
$\frac{3 - \sqrt{5}}{2} \le 3^x < 1$
Прологарифмируем все части двойного неравенства по основанию 3:
$\log_3\left(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}\right) \le \log_3(3^x) < \log_3(1)$
$\log_3\left(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}\right) \le x < 0$
Это решение для случая $x < 0$.
Объединяя решения из обоих случаев, а именно $[\log_3(\frac{3-\sqrt{5}}{2}), 0)$ и $[0, 1-\log_3(2)]$, получаем итоговый промежуток.
Ответ: $x \in \left[\log_3\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right), 1 - \log_3(2)\right]$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 206 расположенного на странице 427 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №206 (с. 427), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.