Номер 206, страница 427 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 206, страница 427.

Условие.

206 a) $2^x + 2^{|x|} \ge 2\sqrt{2}$

б) $3^x + 3^{|x|} \le 3$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

a)

Решим неравенство $2^x + 2^{|x|} \ge 2\sqrt{2}$.

Для решения неравенства с модулем рассмотрим два случая.

Случай 1: $x \ge 0$

При $x \ge 0$ имеем $|x| = x$. Неравенство принимает вид:

$2^x + 2^x \ge 2\sqrt{2}$

$2 \cdot 2^x \ge 2\sqrt{2}$

Разделим обе части на 2:

$2^x \ge \sqrt{2}$

Представим правую часть в виде степени с основанием 2: $\sqrt{2} = 2^{1/2}$.

$2^x \ge 2^{1/2}$

Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция $y=2^t$ является возрастающей. Поэтому можно перейти к неравенству для показателей:

$x \ge 1/2$

Это решение удовлетворяет условию $x \ge 0$. Таким образом, в первом случае решением является промежуток $[1/2, +\infty)$.

Случай 2: $x < 0$

При $x < 0$ имеем $|x| = -x$. Неравенство принимает вид:

$2^x + 2^{-x} \ge 2\sqrt{2}$

Введем замену $t = 2^x$. Поскольку $x < 0$, то $0 < 2^x < 2^0$, следовательно $0 < t < 1$. Неравенство в терминах $t$:

$t + \frac{1}{t} \ge 2\sqrt{2}$

Так как $t>0$, умножим обе части на $t$, не меняя знака неравенства:

$t^2 + 1 \ge 2\sqrt{2}t$

$t^2 - 2\sqrt{2}t + 1 \ge 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 2\sqrt{2}t + 1 = 0$:

$t_{1,2} = \frac{-(-2\sqrt{2}) \pm \sqrt{(-2\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2} = \frac{2\sqrt{2} \pm \sqrt{8 - 4}}{2} = \frac{2\sqrt{2} \pm 2}{2} = \sqrt{2} \pm 1$.

Графиком функции $y = t^2 - 2\sqrt{2}t + 1$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется, когда $t$ находится вне интервала между корнями:

$t \le \sqrt{2}-1$ или $t \ge \sqrt{2}+1$.

Возвращаемся к переменной $x$ с учетом условия $0 < t < 1$:

1) $2^x \le \sqrt{2}-1$. Так как $\sqrt{2}-1 \approx 1.414 - 1 = 0.414$, это значение попадает в интервал $(0,1)$. Прологарифмировав по основанию 2, получим $x \le \log_2(\sqrt{2}-1)$. Это решение удовлетворяет условию $x < 0$.

2) $2^x \ge \sqrt{2}+1$. Так как $\sqrt{2}+1 > 1$, это противоречит условию $0 < t < 1$. Решений в этом подслучае нет.

Решением во втором случае является промежуток $(-\infty, \log_2(\sqrt{2}-1)]$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x \in (-\infty, \log_2(\sqrt{2}-1)] \cup [1/2, +\infty)$.

б)

Решим неравенство $3^x + 3^{|x|} \le 3$.

Для решения неравенства с модулем рассмотрим два случая.

Случай 1: $x \ge 0$

При $x \ge 0$ имеем $|x| = x$. Неравенство принимает вид:

$3^x + 3^x \le 3$

$2 \cdot 3^x \le 3$

$3^x \le 3/2$

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей. Прологарифмируем обе части по основанию 3:

$x \le \log_3(3/2)$

Используя свойство логарифма частного, можно записать $x \le \log_3(3) - \log_3(2)$, то есть $x \le 1 - \log_3(2)$.

С учетом условия $x \ge 0$, решение для этого случая: $0 \le x \le 1 - \log_3(2)$.

Случай 2: $x < 0$

При $x < 0$ имеем $|x| = -x$. Неравенство принимает вид:

$3^x + 3^{-x} \le 3$

Введем замену $t = 3^x$. Поскольку $x < 0$, то $0 < 3^x < 3^0$, следовательно $0 < t < 1$. Неравенство в терминах $t$:

$t + \frac{1}{t} \le 3$

Так как $t>0$, умножим обе части на $t$, не меняя знака неравенства:

$t^2 + 1 \le 3t$

$t^2 - 3t + 1 \le 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 3t + 1 = 0$:

$t_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Графиком функции $y = t^2 - 3t + 1$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется, когда $t$ находится между корнями:

$\frac{3 - \sqrt{5}}{2} \le t \le \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$.

Теперь учтем ограничение $0 < t < 1$. Оценим значения корней: $\sqrt{5} \approx 2.236$.

$t_1 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \approx \frac{3-2.236}{2} \approx 0.382$. Это значение удовлетворяет $0 < t_1 < 1$.

$t_2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \approx \frac{3+2.236}{2} \approx 2.618$. Это значение больше 1.

Пересечение решения для $t$ с ограничением $0 < t < 1$ дает: $\frac{3 - \sqrt{5}}{2} \le t < 1$.

Возвращаемся к переменной $x$:

$\frac{3 - \sqrt{5}}{2} \le 3^x < 1$

Прологарифмируем все части двойного неравенства по основанию 3:

$\log_3\left(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}\right) \le \log_3(3^x) < \log_3(1)$

$\log_3\left(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}\right) \le x < 0$

Это решение для случая $x < 0$.

Объединяя решения из обоих случаев, а именно $[\log_3(\frac{3-\sqrt{5}}{2}), 0)$ и $[0, 1-\log_3(2)]$, получаем итоговый промежуток.

Ответ: $x \in \left[\log_3\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right), 1 - \log_3(2)\right]$.