Номер 205, страница 427 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 205, страница 427.

Условие.

205 a) $\frac{|x+6| + \sqrt{1-x} - 5}{|x-2| - 3\sqrt{x+5} + 3} \le 0;$

Б) $\frac{|x-3| - 2\sqrt{x+4} + 1}{|x+5| - 2\sqrt{2-x} + 1} \le 0;$

В) $\frac{|x+4| - \sqrt{3-x} - 1}{|x-4| - \sqrt{x+3} - 1} \le 0;$

Г) $\frac{|x-5| - 2\sqrt{x+2} + 1}{|x+3| - 2\sqrt{4-x} + 1} \le 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

a)

Решим неравенство $\frac{|x+6| + \sqrt{1-x} - 5}{|x-2| - 3\sqrt{x+5} + 3} \le 0$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнем должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} 1 - x \ge 0 \\ x + 5 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 1 \\ x \ge -5 \end{cases}$

Таким образом, ОДЗ: $x \in [-5, 1]$. Также знаменатель не должен быть равен нулю.

2. Упростим и проанализируем числитель: $N(x) = |x+6| + \sqrt{1-x} - 5$.
На ОДЗ $x \in [-5, 1]$, выражение $x+6$ всегда положительно, поэтому $|x+6| = x+6$.
$N(x) = x+6 + \sqrt{1-x} - 5 = x+1 + \sqrt{1-x}$.
Найдем нули числителя: $x+1 + \sqrt{1-x} = 0 \implies \sqrt{1-x} = -x-1$.
Возводим в квадрат (при условии $-x-1 \ge 0$, т.е. $x \le -1$):
$1-x = (-x-1)^2 \implies 1-x = x^2+2x+1 \implies x^2+3x = 0 \implies x(x+3) = 0$.
Корни: $x=0$ (не удовлетворяет условию $x \le -1$) и $x=-3$ (удовлетворяет).
Итак, $N(x)=0$ при $x=-3$. Определим знаки $N(x)$ на ОДЗ: $N(x) \le 0$ при $x \in [-5, -3]$ и $N(x) \ge 0$ при $x \in [-3, 1]$.

3. Упростим и проанализируем знаменатель: $D(x) = |x-2| - 3\sqrt{x+5} + 3$.
На ОДЗ $x \in [-5, 1]$, выражение $x-2$ всегда отрицательно, поэтому $|x-2| = -(x-2) = 2-x$.
$D(x) = 2-x - 3\sqrt{x+5} + 3 = 5-x - 3\sqrt{x+5}$.
Найдем нули знаменателя: $5-x - 3\sqrt{x+5} = 0 \implies 3\sqrt{x+5} = 5-x$.
Возводим в квадрат (при условии $5-x \ge 0$, т.е. $x \le 5$, что выполняется на ОДЗ):
$9(x+5) = (5-x)^2 \implies 9x+45 = 25-10x+x^2 \implies x^2-19x-20=0$.
Корни: $x_1=20$ (не входит в ОДЗ) и $x_2=-1$ (входит в ОДЗ).
Итак, $D(x)=0$ при $x=-1$. Определим знаки $D(x)$ на ОДЗ: $D(x) > 0$ при $x \in [-5, -1)$ и $D(x) < 0$ при $x \in (-1, 1]$.

4. Решим неравенство методом интервалов. Отметим на числовой прямой точки ОДЗ $[-5, 1]$ и нули числителя ($x=-3$) и знаменателя ($x=-1$).

• При $x \in [-5, -3]$: $N(x) \le 0$, $D(x) > 0$. Дробь $\frac{N(x)}{D(x)} \le 0$. Интервал подходит.
• При $x \in (-3, -1)$: $N(x) > 0$, $D(x) > 0$. Дробь $\frac{N(x)}{D(x)} > 0$. Интервал не подходит.
• При $x \in (-1, 1]$: $N(x) > 0$, $D(x) < 0$. Дробь $\frac{N(x)}{D(x)} < 0$. Интервал подходит.

Точка $x=-3$ включается в решение, так как числитель равен нулю. Точка $x=-1$ исключается, так как знаменатель равен нулю.

Ответ: $x \in [-5, -3] \cup (-1, 1]$.

б)

Решим неравенство $\frac{|x-3| - 2\sqrt{x+4}+1}{|x+5| - 2\sqrt{2-x}+1} \le 0$.

1. ОДЗ: $\begin{cases} x+4 \ge 0 \\ 2-x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -4 \\ x \le 2 \end{cases}$. ОДЗ: $x \in [-4, 2]$.

2. Числитель: $N(x) = |x-3| - 2\sqrt{x+4}+1$.
На ОДЗ $x \in [-4, 2]$, $x-3 < 0$, поэтому $|x-3| = 3-x$.
$N(x) = 3-x - 2\sqrt{x+4}+1 = 4-x - 2\sqrt{x+4}$.
Нули числителя: $4-x = 2\sqrt{x+4}$. Возводим в квадрат ($x \le 4$):
$(4-x)^2 = 4(x+4) \implies 16-8x+x^2 = 4x+16 \implies x^2-12x=0 \implies x(x-12)=0$.
Корни: $x=0$ (входит в ОДЗ) и $x=12$ (не входит в ОДЗ).
$N(x)=0$ при $x=0$. Знаки $N(x)$: $N(x) \ge 0$ при $x \in [-4, 0]$ и $N(x) \le 0$ при $x \in [0, 2]$.

3. Знаменатель: $D(x) = |x+5| - 2\sqrt{2-x}+1$.
На ОДЗ $x \in [-4, 2]$, $x+5 > 0$, поэтому $|x+5| = x+5$.
$D(x) = x+5 - 2\sqrt{2-x}+1 = x+6 - 2\sqrt{2-x}$.
Нули знаменателя: $x+6 = 2\sqrt{2-x}$. Возводим в квадрат ($x \ge -6$):
$(x+6)^2 = 4(2-x) \implies x^2+12x+36 = 8-4x \implies x^2+16x+28=0$.
Корни: $x_1=-2$ (входит в ОДЗ) и $x_2=-14$ (не входит в ОДЗ).
$D(x)=0$ при $x=-2$. Знаки $D(x)$: $D(x) < 0$ при $x \in [-4, -2)$ и $D(x) > 0$ при $x \in (-2, 2]$.

4. Решим методом интервалов на ОДЗ $[-4, 2]$ с критическими точками $x=-2$ и $x=0$.

• При $x \in [-4, -2)$: $N(x) > 0$, $D(x) < 0$. Дробь $\frac{N(x)}{D(x)} < 0$. Интервал подходит.
• При $x \in (-2, 0]$: $N(x) \ge 0$, $D(x) > 0$. Дробь $\frac{N(x)}{D(x)} \ge 0$. Не подходит, кроме $x=0$.
• При $x \in (0, 2]$: $N(x) < 0$, $D(x) > 0$. Дробь $\frac{N(x)}{D(x)} < 0$. Интервал подходит.

Точка $x=0$ включается (числитель равен 0), точка $x=-2$ исключается (знаменатель равен 0).

Ответ: $x \in [-4, -2) \cup [0, 2]$.

в)

Решим неравенство $\frac{|x+4| - \sqrt{3-x} - 1}{|x-4| - \sqrt{x+3} - 1} \le 0$.

1. ОДЗ: $\begin{cases} 3-x \ge 0 \\ x+3 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 3 \\ x \ge -3 \end{cases}$. ОДЗ: $x \in [-3, 3]$.

2. Числитель: $N(x) = |x+4| - \sqrt{3-x} - 1$.
На ОДЗ $x \in [-3, 3]$, $x+4 > 0$, поэтому $|x+4| = x+4$.
$N(x) = x+4 - \sqrt{3-x} - 1 = x+3 - \sqrt{3-x}$.
Нули числителя: $x+3 = \sqrt{3-x}$. Возводим в квадрат ($x \ge -3$):
$(x+3)^2 = 3-x \implies x^2+6x+9 = 3-x \implies x^2+7x+6=0$.
Корни: $x_1=-1$ (входит в ОДЗ) и $x_2=-6$ (не входит в ОДЗ).
$N(x)=0$ при $x=-1$. Знаки $N(x)$: $N(x) \le 0$ при $x \in [-3, -1]$ и $N(x) \ge 0$ при $x \in [-1, 3]$.

3. Знаменатель: $D(x) = |x-4| - \sqrt{x+3} - 1$.
На ОДЗ $x \in [-3, 3]$, $x-4 < 0$, поэтому $|x-4| = 4-x$.
$D(x) = 4-x - \sqrt{x+3} - 1 = 3-x - \sqrt{x+3}$.
Нули знаменателя: $3-x = \sqrt{x+3}$. Возводим в квадрат ($x \le 3$):
$(3-x)^2 = x+3 \implies 9-6x+x^2 = x+3 \implies x^2-7x+6=0$.
Корни: $x_1=1$ (входит в ОДЗ) и $x_2=6$ (не входит в ОДЗ).
$D(x)=0$ при $x=1$. Знаки $D(x)$: $D(x) > 0$ при $x \in [-3, 1)$ и $D(x) < 0$ при $x \in (1, 3]$.

4. Решим методом интервалов на ОДЗ $[-3, 3]$ с критическими точками $x=-1$ и $x=1$.

• При $x \in [-3, -1]$: $N(x) \le 0$, $D(x) > 0$. Дробь $\frac{N(x)}{D(x)} \le 0$. Интервал подходит.
• При $x \in (-1, 1)$: $N(x) > 0$, $D(x) > 0$. Дробь $\frac{N(x)}{D(x)} > 0$. Интервал не подходит.
• При $x \in (1, 3]$: $N(x) > 0$, $D(x) < 0$. Дробь $\frac{N(x)}{D(x)} < 0$. Интервал подходит.

Точка $x=-1$ включается, точка $x=1$ исключается.

Ответ: $x \in [-3, -1] \cup (1, 3]$.

г)

Решим неравенство $\frac{|x-5| - 2\sqrt{x+2} + 1}{|x+3| - 2\sqrt{4-x} + 1} \le 0$.

1. ОДЗ: $\begin{cases} x+2 \ge 0 \\ 4-x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -2 \\ x \le 4 \end{cases}$. ОДЗ: $x \in [-2, 4]$.

2. Числитель: $N(x) = |x-5| - 2\sqrt{x+2} + 1$.
На ОДЗ $x \in [-2, 4]$, $x-5 < 0$, поэтому $|x-5| = 5-x$.
$N(x) = 5-x - 2\sqrt{x+2} + 1 = 6-x - 2\sqrt{x+2}$.
Нули числителя: $6-x = 2\sqrt{x+2}$. Возводим в квадрат ($x \le 6$):
$(6-x)^2 = 4(x+2) \implies 36-12x+x^2 = 4x+8 \implies x^2-16x+28=0$.
Корни: $x_1=2$ (входит в ОДЗ) и $x_2=14$ (не входит в ОДЗ).
$N(x)=0$ при $x=2$. Знаки $N(x)$: $N(x) \ge 0$ при $x \in [-2, 2]$ и $N(x) \le 0$ при $x \in [2, 4]$.

3. Знаменатель: $D(x) = |x+3| - 2\sqrt{4-x} + 1$.
На ОДЗ $x \in [-2, 4]$, $x+3 > 0$, поэтому $|x+3| = x+3$.
$D(x) = x+3 - 2\sqrt{4-x} + 1 = x+4 - 2\sqrt{4-x}$.
Нули знаменателя: $x+4 = 2\sqrt{4-x}$. Возводим в квадрат ($x \ge -4$):
$(x+4)^2 = 4(4-x) \implies x^2+8x+16 = 16-4x \implies x^2+12x=0 \implies x(x+12)=0$.
Корни: $x=0$ (входит в ОДЗ) и $x=-12$ (не входит в ОДЗ).
$D(x)=0$ при $x=0$. Знаки $D(x)$: $D(x) < 0$ при $x \in [-2, 0)$ и $D(x) > 0$ при $x \in (0, 4]$.

4. Решим методом интервалов на ОДЗ $[-2, 4]$ с критическими точками $x=0$ и $x=2$.

• При $x \in [-2, 0)$: $N(x) > 0$, $D(x) < 0$. Дробь $\frac{N(x)}{D(x)} < 0$. Интервал подходит.
• При $x \in (0, 2]$: $N(x) \ge 0$, $D(x) > 0$. Дробь $\frac{N(x)}{D(x)} \ge 0$. Не подходит, кроме $x=2$.
• При $x \in (2, 4]$: $N(x) < 0$, $D(x) > 0$. Дробь $\frac{N(x)}{D(x)} < 0$. Интервал подходит.

Точка $x=2$ включается (числитель равен 0), точка $x=0$ исключается (знаменатель равен 0).

Ответ: $x \in [-2, 0) \cup [2, 4]$.