Номер 201, страница 426 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 201, страница 426.

Условие.

201 a) $\frac{|x - 3| + 2}{|2x - 3| - 5} \le 0;$

б) $\frac{\frac{1}{x - 1} - 1}{1 - \frac{1}{x - 7}} \ge 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Решим неравенство $\frac{|x-3|+2}{|2x-3|-5} \le 0$.

1. Рассмотрим числитель дроби: $|x-3|+2$.
По определению, модуль любого числа является неотрицательной величиной, то есть $|x-3| \ge 0$ для любого $x$.
Следовательно, выражение в числителе $|x-3|+2 \ge 0+2=2$. Таким образом, числитель дроби всегда строго положителен.

2. Так как числитель дроби всегда положителен, для того чтобы вся дробь была неположительной (меньше или равна нулю), знаменатель должен быть строго отрицательным (равенство нулю дробь достичь не может).
Получаем неравенство:
$|2x-3|-5 < 0$

3. Решим это неравенство с модулем:
$|2x-3| < 5$
Данное неравенство равносильно двойному неравенству:
$-5 < 2x-3 < 5$
Прибавим 3 ко всем частям неравенства:
$-5+3 < 2x < 5+3$
$-2 < 2x < 8$
Разделим все части неравенства на 2:
$-1 < x < 4$

4. Учтем область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю.
$|2x-3|-5 \ne 0 \implies |2x-3| \ne 5$
Это означает, что $2x-3 \ne 5$ и $2x-3 \ne -5$.
Из $2x-3 \ne 5$ получаем $2x \ne 8$, то есть $x \ne 4$.
Из $2x-3 \ne -5$ получаем $2x \ne -2$, то есть $x \ne -1$.
Полученный интервал $(-1; 4)$ не включает в себя граничные точки, поэтому ОДЗ полностью соблюдено.

Ответ: $x \in (-1; 4)$.

б)

Решим неравенство $\frac{\frac{1}{x-1}-1}{1-\frac{1}{x-7}} \ge 0$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Все знаменатели в выражении не должны равняться нулю.
$x-1 \ne 0 \implies x \ne 1$
$x-7 \ne 0 \implies x \ne 7$
$1 - \frac{1}{x-7} \ne 0 \implies 1 \ne \frac{1}{x-7} \implies x-7 \ne 1 \implies x \ne 8$
Итак, ОДЗ: $x \ne 1, x \ne 7, x \ne 8$.

2. Упростим числитель и знаменатель основной дроби.
Числитель: $\frac{1}{x-1}-1 = \frac{1-(x-1)}{x-1} = \frac{1-x+1}{x-1} = \frac{2-x}{x-1}$.
Знаменатель: $1-\frac{1}{x-7} = \frac{(x-7)-1}{x-7} = \frac{x-8}{x-7}$.

3. Подставим упрощенные выражения обратно в неравенство:
$\frac{\frac{2-x}{x-1}}{\frac{x-8}{x-7}} \ge 0$
Преобразуем многоэтажную дробь, "перевернув" знаменатель:
$\frac{2-x}{x-1} \cdot \frac{x-7}{x-8} \ge 0$
$\frac{(2-x)(x-7)}{(x-1)(x-8)} \ge 0$

4. Для удобства решения методом интервалов, вынесем минус из скобки $(2-x)$: $\frac{-(x-2)(x-7)}{(x-1)(x-8)} \ge 0$
Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$\frac{(x-2)(x-7)}{(x-1)(x-8)} \le 0$

5. Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем корни числителя и знаменателя.
Корни числителя: $x=2, x=7$. Эти точки могут быть решениями, так как неравенство нестрогое ($\le$).
Корни знаменателя: $x=1, x=8$. Эти точки не могут быть решениями (выколотые точки).
Отметим точки 1, 2, 7, 8 на числовой оси и определим знаки выражения в получившихся интервалах:

- Интервал $(-\infty; 1)$: Возьмем $x=0$. $\frac{(-)(-)_}{(-)(-)} = +$.
- Интервал $(1; 2]$: Возьмем $x=1.5$. $\frac{(-)(-)}{(+)(-)} = -$. Интервал подходит.
- Интервал $[2; 7]$: Возьмем $x=3$. $\frac{(+)(-)}{(+)(-)} = +$.
- Интервал $[7; 8)$: Возьмем $x=7.5$. $\frac{(+)(+)}{(+)(-)} = -$. Интервал подходит.
- Интервал $(8; +\infty)$: Возьмем $x=10$. $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} = +$.

6. Объединяя подходящие интервалы, получаем решение $x \in (1; 2] \cup [7; 8)$. Это решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x \in (1; 2] \cup [7; 8)$.