Номер 207, страница 427 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 207, страница 427.

Условие.

207 a) $3 \cdot 4^{\sqrt{2-x}} + 3 < 10 \cdot 2^{\sqrt{2-x}}$

б) $2 \cdot 9^{\sqrt{3-x}} + 2 < 5 \cdot 3^{\sqrt{3-x}}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

a) $3 \cdot 4^{\sqrt{2-x}} + 3 < 10 \cdot 2^{\sqrt{2-x}}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$2 - x \ge 0 \implies x \le 2$.

2. Преобразуем неравенство, заметив, что $4^{\sqrt{2-x}} = (2^2)^{\sqrt{2-x}} = (2^{\sqrt{2-x}})^2$.
$3 \cdot (2^{\sqrt{2-x}})^2 - 10 \cdot 2^{\sqrt{2-x}} + 3 < 0$.

3. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^{\sqrt{2-x}}$. Поскольку $\sqrt{2-x} \ge 0$, то $t = 2^{\sqrt{2-x}} \ge 2^0 = 1$.
Получаем квадратное неравенство относительно $t$:
$3t^2 - 10t + 3 < 0$.

4. Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3t^2 - 10t + 3 = 0$.
Дискриминант $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$.
$t_1 = \frac{10 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
$t_2 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$.
Так как ветви параболы $y=3t^2 - 10t + 3$ направлены вверх, решение неравенства $3t^2 - 10t + 3 < 0$ находится между корнями: $\frac{1}{3} < t < 3$.

5. Учитывая условие $t \ge 1$, получаем систему неравенств:
$\begin{cases} \frac{1}{3} < t < 3 \\ t \ge 1 \end{cases} \implies 1 \le t < 3$.

6. Выполним обратную замену:
$1 \le 2^{\sqrt{2-x}} < 3$.
Представим $1$ как $2^0$:
$2^0 \le 2^{\sqrt{2-x}} < 3$.
Так как основание степени $2 > 1$, можем перейти к неравенству для показателей:
$0 \le \sqrt{2-x} < \log_2 3$.

7. Неравенство $\sqrt{2-x} \ge 0$ выполняется для всех $x$ из ОДЗ. Решим вторую часть неравенства:
$\sqrt{2-x} < \log_2 3$.
Возведем обе части в квадрат (это возможно, так как обе части неотрицательны):
$2 - x < (\log_2 3)^2$
$-x < (\log_2 3)^2 - 2$
$x > 2 - (\log_2 3)^2$.

8. Объединим полученное решение с ОДЗ ($x \le 2$):
$2 - (\log_2 3)^2 < x \le 2$.

Ответ: $x \in (2 - (\log_2 3)^2; 2]$.

б) $2 \cdot 9^{\sqrt{3-x}} + 2 < 5 \cdot 3^{\sqrt{3-x}}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$3 - x \ge 0 \implies x \le 3$.

2. Преобразуем неравенство, заметив, что $9^{\sqrt{3-x}} = (3^2)^{\sqrt{3-x}} = (3^{\sqrt{3-x}})^2$.
$2 \cdot (3^{\sqrt{3-x}})^2 - 5 \cdot 3^{\sqrt{3-x}} + 2 < 0$.

3. Сделаем замену переменной. Пусть $y = 3^{\sqrt{3-x}}$. Поскольку $\sqrt{3-x} \ge 0$, то $y = 3^{\sqrt{3-x}} \ge 3^0 = 1$.
Получаем квадратное неравенство относительно $y$:
$2y^2 - 5y + 2 < 0$.

4. Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2y^2 - 5y + 2 = 0$.
Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.
$y_1 = \frac{5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$y_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$.
Так как ветви параболы $z=2y^2 - 5y + 2$ направлены вверх, решение неравенства $2y^2 - 5y + 2 < 0$ находится между корнями: $\frac{1}{2} < y < 2$.

5. Учитывая условие $y \ge 1$, получаем систему неравенств:
$\begin{cases} \frac{1}{2} < y < 2 \\ y \ge 1 \end{cases} \implies 1 \le y < 2$.

6. Выполним обратную замену:
$1 \le 3^{\sqrt{3-x}} < 2$.
Представим $1$ как $3^0$:
$3^0 \le 3^{\sqrt{3-x}} < 2$.
Так как основание степени $3 > 1$, можем перейти к неравенству для показателей:
$0 \le \sqrt{3-x} < \log_3 2$.

7. Неравенство $\sqrt{3-x} \ge 0$ выполняется для всех $x$ из ОДЗ. Решим вторую часть неравенства:
$\sqrt{3-x} < \log_3 2$.
Возведем обе части в квадрат (это возможно, так как обе части неотрицательны):
$3 - x < (\log_3 2)^2$
$-x < (\log_3 2)^2 - 3$
$x > 3 - (\log_3 2)^2$.

8. Объединим полученное решение с ОДЗ ($x \le 3$):
$3 - (\log_3 2)^2 < x \le 3$.

Ответ: $x \in (3 - (\log_3 2)^2; 3]$.