Номер 202, страница 426 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Задания для повторения - номер 202, страница 426.
№202 (с. 426)
Условие. №202 (с. 426)
скриншот условия

202 a) $(9x^2 - 9x + 2) \cdot \log_2 3x \ge 0;$
б) $(20x - 25x^2 - 3) \cdot \log_3 5x \le 0.$
Решение 1. №202 (с. 426)


Решение 2. №202 (с. 426)


Решение 4. №202 (с. 426)
а)
Решим неравенство $(9x^2 - 9x + 2) \cdot \log_2(3x) \ge 0$.
1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $3x > 0 \implies x > 0$. ОДЗ: $x \in (0, +\infty)$.
2. Произведение двух множителей неотрицательно, когда оба множителя имеют одинаковый знак (оба неотрицательны или оба неположительны). Это равносильно совокупности двух систем неравенств.
Система 1: $\begin{cases} 9x^2 - 9x + 2 \ge 0 \\ \log_2(3x) \ge 0 \end{cases}$
Система 2: $\begin{cases} 9x^2 - 9x + 2 \le 0 \\ \log_2(3x) \le 0 \end{cases}$
3. Решим первую систему. Для первого неравенства $9x^2 - 9x + 2 \ge 0$ найдем корни квадратного трехчлена $9x^2 - 9x + 2 = 0$. Дискриминант: $D = (-9)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 = 81 - 72 = 9 = 3^2$. Корни: $x_1 = \frac{9 - 3}{18} = \frac{1}{3}$, $x_2 = \frac{9 + 3}{18} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$. Коэффициент при $x^2$ положителен, значит, ветви параболы направлены вверх. Решением неравенства является $x \in (-\infty, \frac{1}{3}] \cup [\frac{2}{3}, +\infty)$.
Для второго неравенства $\log_2(3x) \ge 0$, так как основание логарифма $2 > 1$, то $3x \ge 2^0 \implies 3x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{3}$.
Пересечение решений для первой системы: $( (-\infty, \frac{1}{3}] \cup [\frac{2}{3}, +\infty) ) \cap [\frac{1}{3}, +\infty)$. Решением первой системы является множество $\{\frac{1}{3}\} \cup [\frac{2}{3}, +\infty)$.
4. Решим вторую систему. Решением неравенства $9x^2 - 9x + 2 \le 0$ является отрезок между корнями: $x \in [\frac{1}{3}, \frac{2}{3}]$.
Для второго неравенства $\log_2(3x) \le 0$, получаем $0 < 3x \le 2^0 \implies 0 < 3x \le 1 \implies 0 < x \le \frac{1}{3}$. (Условие $3x > 0$ взято из ОДЗ).
Пересечение решений для второй системы: $[\frac{1}{3}, \frac{2}{3}] \cap (0, \frac{1}{3}]$. Решением второй системы является точка $x = \frac{1}{3}$.
5. Объединим решения обеих систем, чтобы получить окончательный ответ: $(\{\frac{1}{3}\} \cup [\frac{2}{3}, +\infty)) \cup \{\frac{1}{3}\} = \{\frac{1}{3}\} \cup [\frac{2}{3}, +\infty)$.
Ответ: $\{\frac{1}{3}\} \cup [\frac{2}{3}, +\infty)$.
б)
Решим неравенство $(20x - 25x^2 - 3) \cdot \log_3(5x) \le 0$.
1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $5x > 0 \implies x > 0$. ОДЗ: $x \in (0, +\infty)$.
2. Произведение двух множителей неположительно, когда множители имеют разные знаки (один неположителен, а другой неотрицателен). Это равносильно совокупности двух систем неравенств.
Система 1: $\begin{cases} 20x - 25x^2 - 3 \ge 0 \\ \log_3(5x) \le 0 \end{cases}$
Система 2: $\begin{cases} 20x - 25x^2 - 3 \le 0 \\ \log_3(5x) \ge 0 \end{cases}$
3. Решим первую систему. Для первого неравенства $20x - 25x^2 - 3 \ge 0$ (или $-25x^2 + 20x - 3 \ge 0$) найдем корни уравнения $25x^2 - 20x + 3 = 0$. Дискриминант: $D = (-20)^2 - 4 \cdot 25 \cdot 3 = 400 - 300 = 100 = 10^2$. Корни: $x_1 = \frac{20 - 10}{50} = \frac{10}{50} = \frac{1}{5}$, $x_2 = \frac{20 + 10}{50} = \frac{30}{50} = \frac{3}{5}$. Коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-25$), ветви параболы направлены вниз. Решением неравенства $-25x^2 + 20x - 3 \ge 0$ является $x \in [\frac{1}{5}, \frac{3}{5}]$.
Для второго неравенства $\log_3(5x) \le 0$, так как основание $3 > 1$, то $0 < 5x \le 3^0 \implies 0 < 5x \le 1 \implies 0 < x \le \frac{1}{5}$.
Пересечение решений для первой системы: $[\frac{1}{5}, \frac{3}{5}] \cap (0, \frac{1}{5}]$. Решением первой системы является точка $x = \frac{1}{5}$.
4. Решим вторую систему. Решением неравенства $20x - 25x^2 - 3 \le 0$ является $x \in (-\infty, \frac{1}{5}] \cup [\frac{3}{5}, +\infty)$.
Для второго неравенства $\log_3(5x) \ge 0$, получаем $5x \ge 3^0 \implies 5x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{5}$.
Пересечение решений для второй системы: $( (-\infty, \frac{1}{5}] \cup [\frac{3}{5}, +\infty) ) \cap [\frac{1}{5}, +\infty)$. Решением второй системы является множество $\{\frac{1}{5}\} \cup [\frac{3}{5}, +\infty)$.
5. Объединим решения обеих систем: $\{ \frac{1}{5} \} \cup (\{ \frac{1}{5} \} \cup [\frac{3}{5}, +\infty)) = \{ \frac{1}{5} \} \cup [\frac{3}{5}, +\infty)$.
Ответ: $\{\frac{1}{5}\} \cup [\frac{3}{5}, +\infty)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 202 расположенного на странице 426 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №202 (с. 426), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.