Номер 202, страница 426 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 202, страница 426.

Условие.

202 a) $(9x^2 - 9x + 2) \cdot \log_2 3x \ge 0;$

б) $(20x - 25x^2 - 3) \cdot \log_3 5x \le 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Решим неравенство $(9x^2 - 9x + 2) \cdot \log_2(3x) \ge 0$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $3x > 0 \implies x > 0$. ОДЗ: $x \in (0, +\infty)$.

2. Произведение двух множителей неотрицательно, когда оба множителя имеют одинаковый знак (оба неотрицательны или оба неположительны). Это равносильно совокупности двух систем неравенств.

Система 1: $\begin{cases} 9x^2 - 9x + 2 \ge 0 \\ \log_2(3x) \ge 0 \end{cases}$

Система 2: $\begin{cases} 9x^2 - 9x + 2 \le 0 \\ \log_2(3x) \le 0 \end{cases}$

3. Решим первую систему. Для первого неравенства $9x^2 - 9x + 2 \ge 0$ найдем корни квадратного трехчлена $9x^2 - 9x + 2 = 0$. Дискриминант: $D = (-9)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 = 81 - 72 = 9 = 3^2$. Корни: $x_1 = \frac{9 - 3}{18} = \frac{1}{3}$, $x_2 = \frac{9 + 3}{18} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$. Коэффициент при $x^2$ положителен, значит, ветви параболы направлены вверх. Решением неравенства является $x \in (-\infty, \frac{1}{3}] \cup [\frac{2}{3}, +\infty)$.

Для второго неравенства $\log_2(3x) \ge 0$, так как основание логарифма $2 > 1$, то $3x \ge 2^0 \implies 3x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{3}$.

Пересечение решений для первой системы: $( (-\infty, \frac{1}{3}] \cup [\frac{2}{3}, +\infty) ) \cap [\frac{1}{3}, +\infty)$. Решением первой системы является множество $\{\frac{1}{3}\} \cup [\frac{2}{3}, +\infty)$.

4. Решим вторую систему. Решением неравенства $9x^2 - 9x + 2 \le 0$ является отрезок между корнями: $x \in [\frac{1}{3}, \frac{2}{3}]$.

Для второго неравенства $\log_2(3x) \le 0$, получаем $0 < 3x \le 2^0 \implies 0 < 3x \le 1 \implies 0 < x \le \frac{1}{3}$. (Условие $3x > 0$ взято из ОДЗ).

Пересечение решений для второй системы: $[\frac{1}{3}, \frac{2}{3}] \cap (0, \frac{1}{3}]$. Решением второй системы является точка $x = \frac{1}{3}$.

5. Объединим решения обеих систем, чтобы получить окончательный ответ: $(\{\frac{1}{3}\} \cup [\frac{2}{3}, +\infty)) \cup \{\frac{1}{3}\} = \{\frac{1}{3}\} \cup [\frac{2}{3}, +\infty)$.

Ответ: $\{\frac{1}{3}\} \cup [\frac{2}{3}, +\infty)$.

б)

Решим неравенство $(20x - 25x^2 - 3) \cdot \log_3(5x) \le 0$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $5x > 0 \implies x > 0$. ОДЗ: $x \in (0, +\infty)$.

2. Произведение двух множителей неположительно, когда множители имеют разные знаки (один неположителен, а другой неотрицателен). Это равносильно совокупности двух систем неравенств.

Система 1: $\begin{cases} 20x - 25x^2 - 3 \ge 0 \\ \log_3(5x) \le 0 \end{cases}$

Система 2: $\begin{cases} 20x - 25x^2 - 3 \le 0 \\ \log_3(5x) \ge 0 \end{cases}$

3. Решим первую систему. Для первого неравенства $20x - 25x^2 - 3 \ge 0$ (или $-25x^2 + 20x - 3 \ge 0$) найдем корни уравнения $25x^2 - 20x + 3 = 0$. Дискриминант: $D = (-20)^2 - 4 \cdot 25 \cdot 3 = 400 - 300 = 100 = 10^2$. Корни: $x_1 = \frac{20 - 10}{50} = \frac{10}{50} = \frac{1}{5}$, $x_2 = \frac{20 + 10}{50} = \frac{30}{50} = \frac{3}{5}$. Коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-25$), ветви параболы направлены вниз. Решением неравенства $-25x^2 + 20x - 3 \ge 0$ является $x \in [\frac{1}{5}, \frac{3}{5}]$.

Для второго неравенства $\log_3(5x) \le 0$, так как основание $3 > 1$, то $0 < 5x \le 3^0 \implies 0 < 5x \le 1 \implies 0 < x \le \frac{1}{5}$.

Пересечение решений для первой системы: $[\frac{1}{5}, \frac{3}{5}] \cap (0, \frac{1}{5}]$. Решением первой системы является точка $x = \frac{1}{5}$.

4. Решим вторую систему. Решением неравенства $20x - 25x^2 - 3 \le 0$ является $x \in (-\infty, \frac{1}{5}] \cup [\frac{3}{5}, +\infty)$.

Для второго неравенства $\log_3(5x) \ge 0$, получаем $5x \ge 3^0 \implies 5x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{5}$.

Пересечение решений для второй системы: $( (-\infty, \frac{1}{5}] \cup [\frac{3}{5}, +\infty) ) \cap [\frac{1}{5}, +\infty)$. Решением второй системы является множество $\{\frac{1}{5}\} \cup [\frac{3}{5}, +\infty)$.

5. Объединим решения обеих систем: $\{ \frac{1}{5} \} \cup (\{ \frac{1}{5} \} \cup [\frac{3}{5}, +\infty)) = \{ \frac{1}{5} \} \cup [\frac{3}{5}, +\infty)$.

Ответ: $\{\frac{1}{5}\} \cup [\frac{3}{5}, +\infty)$.