Номер 199, страница 426 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 199, страница 426.

Условие.

199 а) $\frac{\sqrt{6 + 5x - x^2}}{x - 2} < 0;$

б) $\frac{\sqrt{3 + 2x - x^2}}{x - 2} < 0;$

в) $\frac{\sqrt{4 - 3x - x^2}}{x + 3} > 0;$

г) $\frac{1 - x}{\sqrt{2 + x - x^2}} < 0;$

д) $\frac{3x + 2}{\sqrt{2 - x - x^2}} > 0;$

е) $\frac{x - 1}{\sqrt{3 + 2x - x^2}} < 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $\frac{\sqrt{6 + 5x - x^2}}{x - 2} < 0$

Данное неравенство равносильно системе неравенств. Так как числитель $\sqrt{6 + 5x - x^2}$ по определению арифметического квадратного корня не может быть отрицательным (он больше или равен нулю), то для того, чтобы вся дробь была меньше нуля, необходимо, чтобы числитель был строго больше нуля, а знаменатель — строго меньше нуля.

Получаем систему:

$\begin{cases} 6 + 5x - x^2 > 0 \\ x - 2 < 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $6 + 5x - x^2 > 0$.
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства: $x^2 - 5x - 6 < 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 5x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 6$ и $x_2 = -1$.
Так как ветви параболы $y = x^2 - 5x - 6$ направлены вверх, неравенство выполняется на интервале между корнями: $x \in (-1, 6)$.

Решим второе неравенство: $x - 2 < 0$, откуда получаем $x < 2$.

Найдем пересечение решений двух неравенств: $x \in (-1, 6)$ и $x \in (-\infty, 2)$.
Пересечением является интервал $(-1, 2)$.

Ответ: $x \in (-1, 2)$.

б) $\frac{\sqrt{3 + 2x - x^2}}{x - 2} < 0$

Аналогично предыдущему пункту, числитель должен быть строго положителен, а знаменатель — строго отрицателен.

Составим систему неравенств:

$\begin{cases} 3 + 2x - x^2 > 0 \\ x - 2 < 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $3 + 2x - x^2 > 0$.
$x^2 - 2x - 3 < 0$.
Корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$ равны $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-1, 3)$.

Решение второго неравенства: $x < 2$.

Найдем пересечение интервалов $(-1, 3)$ и $(-\infty, 2)$.
Пересечением является интервал $(-1, 2)$.

Ответ: $x \in (-1, 2)$.

в) $\frac{\sqrt{4 - 3x - x^2}}{x + 3} > 0$

Чтобы дробь была положительной, числитель и знаменатель должны быть одного знака. Так как числитель $\sqrt{4 - 3x - x^2}$ не может быть отрицательным, он должен быть строго положительным. Следовательно, и знаменатель должен быть строго положительным.

Составим систему неравенств:

$\begin{cases} 4 - 3x - x^2 > 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $4 - 3x - x^2 > 0$.
$x^2 + 3x - 4 < 0$.
Корни уравнения $x^2 + 3x - 4 = 0$ равны $x_1 = 1$ и $x_2 = -4$.
Решение неравенства: $x \in (-4, 1)$.

Решим второе неравенство: $x + 3 > 0$, откуда $x > -3$.

Найдем пересечение интервалов $(-4, 1)$ и $(-3, \infty)$.
Пересечением является интервал $(-3, 1)$.

Ответ: $x \in (-3, 1)$.

г) $\frac{1 - x}{\sqrt{2 + x - x^2}} < 0$

Знаменатель дроби $\sqrt{2 + x - x^2}$ должен быть строго больше нуля, так как он находится под корнем и в знаменателе. Если знаменатель положителен, то для выполнения неравенства числитель должен быть отрицательным.

Составим систему неравенств:

$\begin{cases} 2 + x - x^2 > 0 \\ 1 - x < 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $2 + x - x^2 > 0$.
$x^2 - x - 2 < 0$.
Корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$ равны $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.
Решение неравенства: $x \in (-1, 2)$.

Решим второе неравенство: $1 - x < 0$, откуда $x > 1$.

Найдем пересечение интервалов $(-1, 2)$ и $(1, \infty)$.
Пересечением является интервал $(1, 2)$.

Ответ: $x \in (1, 2)$.

д) $\frac{3x + 2}{\sqrt{2 - x - x^2}} > 0$

Знаменатель $\sqrt{2 - x - x^2}$ должен быть строго больше нуля. Чтобы дробь была положительной, числитель также должен быть строго больше нуля.

Составим систему неравенств:

$\begin{cases} 2 - x - x^2 > 0 \\ 3x + 2 > 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $2 - x - x^2 > 0$.
$x^2 + x - 2 < 0$.
Корни уравнения $x^2 + x - 2 = 0$ равны $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.
Решение неравенства: $x \in (-2, 1)$.

Решим второе неравенство: $3x + 2 > 0$, откуда $3x > -2$, то есть $x > -2/3$.

Найдем пересечение интервалов $(-2, 1)$ и $(-2/3, \infty)$.
Пересечением является интервал $(-2/3, 1)$.

Ответ: $x \in (-2/3, 1)$.

е) $\frac{x - 1}{\sqrt{3 + 2x - x^2}} < 0$

Знаменатель $\sqrt{3 + 2x - x^2}$ должен быть строго больше нуля. Чтобы дробь была отрицательной, числитель должен быть строго меньше нуля.

Составим систему неравенств:

$\begin{cases} 3 + 2x - x^2 > 0 \\ x - 1 < 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $3 + 2x - x^2 > 0$.
$x^2 - 2x - 3 < 0$.
Корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$ равны $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.
Решение неравенства: $x \in (-1, 3)$.

Решим второе неравенство: $x - 1 < 0$, откуда $x < 1$.

Найдем пересечение интервалов $(-1, 3)$ и $(-\infty, 1)$.
Пересечением является интервал $(-1, 1)$.

Ответ: $x \in (-1, 1)$.