Номер 194, страница 426 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 194, страница 426.

Условие.

Решите неравенство (194-220):

194 a) $\frac{4^{\frac{1}{x}} - 4}{2 + x} < 0;$

б) $\frac{2^{\frac{1}{x}} - 2}{x - 2} > 0;$

в) $\frac{2^{-\frac{1}{x}} - 2}{x + 2} < 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $\frac{4^{\frac{1}{x}} - 4}{2 + x} < 0$

Решим данное неравенство методом интервалов. Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Знаменатель не должен быть равен нулю: $2 + x \neq 0 \implies x \neq -2$.
Показатель степени должен быть определен: $\frac{1}{x}$ определен при $x \neq 0$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 0) \cup (0, +\infty)$.

Применим метод рационализации. Знак выражения $a^{f(x)} - a^{g(x)}$ совпадает со знаком выражения $(a-1)(f(x) - g(x))$.
В числителе имеем $4^{\frac{1}{x}} - 4^1$. Здесь $a=4 > 1$, поэтому $a-1 > 0$.
Следовательно, знак выражения $4^{\frac{1}{x}} - 4^1$ совпадает со знаком выражения $\frac{1}{x} - 1 = \frac{1-x}{x}$.

Исходное неравенство на ОДЗ равносильно неравенству: $\frac{\frac{1-x}{x}}{2+x} < 0$
$\frac{1-x}{x(x+2)} < 0$
Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства: $\frac{x-1}{x(x+2)} > 0$

Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x=1$, $x=0$, $x=-2$. Наносим эти точки на числовую прямую и определяем знаки на интервалах: $(-\infty, -2)$, $(-2, 0)$, $(0, 1)$, $(1, +\infty)$.
При $x > 1$: $\frac{+}{+(+)} > 0$ (верно).
При $0 < x < 1$: $\frac{-}{+(+)} < 0$ (неверно).
При $-2 < x < 0$: $\frac{-}{-(+)} > 0$ (верно).
При $x < -2$: $\frac{-}{-( -)} < 0$ (неверно).
Решением являются интервалы, где выражение больше нуля.

Ответ: $x \in (-2, 0) \cup (1, +\infty)$.

б) $\frac{2^{\frac{1}{x}} - 2}{x - 2} > 0$

Найдем ОДЗ: $x \neq 0$ (из показателя степени) и $x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$.
ОДЗ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, +\infty)$.

Применим метод рационализации для числителя $2^{\frac{1}{x}} - 2^1$.
Так как основание $a=2 > 1$, то знак выражения $2^{\frac{1}{x}} - 2^1$ совпадает со знаком выражения $\frac{1}{x} - 1 = \frac{1-x}{x}$.

Исходное неравенство равносильно неравенству: $\frac{\frac{1-x}{x}}{x-2} > 0$
$\frac{1-x}{x(x-2)} > 0$
Умножим на -1 и изменим знак: $\frac{x-1}{x(x-2)} < 0$

Решим методом интервалов. Нули: $x=1$, $x=0$, $x=2$. Интервалы: $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$, $(1, 2)$, $(2, +\infty)$.
При $x > 2$: $\frac{+}{+(+)} > 0$ (неверно).
При $1 < x < 2$: $\frac{+}{+(-)} < 0$ (верно).
При $0 < x < 1$: $\frac{-}{+(-)} > 0$ (неверно).
При $x < 0$: $\frac{-}{-(-)} < 0$ (верно).
Решением являются интервалы, где выражение меньше нуля.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (1, 2)$.

в) $\frac{2^{-\frac{1}{x}} - 2}{x + 2} < 0$

Найдем ОДЗ: $x \neq 0$ (из показателя степени) и $x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$.
ОДЗ: $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 0) \cup (0, +\infty)$.

Применим метод рационализации для числителя $2^{-\frac{1}{x}} - 2^1$.
Так как основание $a=2 > 1$, то знак выражения $2^{-\frac{1}{x}} - 2^1$ совпадает со знаком выражения $-\frac{1}{x} - 1 = \frac{-1-x}{x}$.

Исходное неравенство равносильно неравенству: $\frac{\frac{-1-x}{x}}{x+2} < 0$
$\frac{-(x+1)}{x(x+2)} < 0$
Умножим на -1 и изменим знак: $\frac{x+1}{x(x+2)} > 0$

Решим методом интервалов. Нули: $x=-1$, $x=0$, $x=-2$. Интервалы: $(-\infty, -2)$, $(-2, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, +\infty)$.
При $x > 0$: $\frac{+}{+(+)} > 0$ (верно).
При $-1 < x < 0$: $\frac{+}{-(+)} < 0$ (неверно).
При $-2 < x < -1$: $\frac{-}{-(+)} > 0$ (верно).
При $x < -2$: $\frac{-}{-(-)} < 0$ (неверно).
Решением являются интервалы, где выражение больше нуля.

Ответ: $x \in (-2, -1) \cup (0, +\infty)$.