Номер 196, страница 426 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 196, страница 426.

Условие.

196 a) $(x^2 - 9)\sqrt{x+6} > 0;$

B) $\sqrt{x^2 - 9}(x+8) > 0;$

б) $(16 - x^2)\sqrt{8-x} < 0;$

Г) $(x-4)\sqrt{x^2-4} < 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Решим неравенство $(x^2 - 9)\sqrt{x+6} > 0$. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ): выражение под корнем должно быть неотрицательным, то есть $x+6 \ge 0$, откуда $x \ge -6$. Так как неравенство строгое, произведение не может равняться нулю, следовательно, $\sqrt{x+6} \neq 0$, что означает $x+6 > 0$ или $x > -6$. На области $x > -6$ множитель $\sqrt{x+6}$ всегда положителен. Поэтому для выполнения неравенства необходимо, чтобы другой множитель был также положителен: $x^2 - 9 > 0$. Разложим на множители: $(x-3)(x+3) > 0$. Решением этого неравенства является $x \in (-\infty, -3) \cup (3, +\infty)$. Нам нужно найти пересечение этого множества с условием $x > -6$. Пересекая $(-6, +\infty)$ и $(-\infty, -3) \cup (3, +\infty)$, получаем итоговый результат.
Ответ: $x \in (-6, -3) \cup (3, +\infty)$.

б) Решим неравенство $(16 - x^2)\sqrt{8-x} < 0$. ОДЗ: $8-x \ge 0$, то есть $x \le 8$. Неравенство строгое, поэтому $\sqrt{8-x} \neq 0$, что означает $8-x > 0$ или $x < 8$. На области $x < 8$ множитель $\sqrt{8-x}$ всегда положителен. Чтобы произведение было отрицательным, необходимо, чтобы множитель $(16 - x^2)$ был отрицательным: $16 - x^2 < 0$. Это неравенство равносильно $x^2 - 16 > 0$, или $(x-4)(x+4) > 0$. Решением является $x \in (-\infty, -4) \cup (4, +\infty)$. Теперь найдем пересечение этого решения с условием $x < 8$. Пересекая $(-\infty, 8)$ и $(-\infty, -4) \cup (4, +\infty)$, получаем итоговый результат.
Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (4, 8)$.

в) Решим неравенство $\sqrt{x^2 - 9}(x+8) > 0$. ОДЗ: $x^2 - 9 \ge 0$, то есть $(x-3)(x+3) \ge 0$. Решением является $x \in (-\infty, -3] \cup [3, +\infty)$. Неравенство строгое, значит $\sqrt{x^2 - 9} \neq 0$, что равносильно $x^2 - 9 > 0$. Таким образом, ОДЗ сужается до $x \in (-\infty, -3) \cup (3, +\infty)$. На этой области множитель $\sqrt{x^2 - 9}$ всегда положителен. Следовательно, для выполнения неравенства необходимо, чтобы множитель $(x+8)$ был положителен: $x+8 > 0$, то есть $x > -8$. Нам нужно найти пересечение множества $x \in (-\infty, -3) \cup (3, +\infty)$ с условием $x > -8$. Пересекая $(-8, +\infty)$ и $(-\infty, -3) \cup (3, +\infty)$, получаем итоговый результат.
Ответ: $x \in (-8, -3) \cup (3, +\infty)$.

г) Решим неравенство $(x-4)\sqrt{x^2 - 4} < 0$. ОДЗ: $x^2 - 4 \ge 0$, то есть $(x-2)(x+2) \ge 0$. Решением является $x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$. Неравенство строгое, значит $\sqrt{x^2 - 4} \neq 0$, что равносильно $x^2 - 4 > 0$. Таким образом, ОДЗ сужается до $x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$. На этой области множитель $\sqrt{x^2 - 4}$ всегда положителен. Чтобы произведение было отрицательным, необходимо, чтобы множитель $(x-4)$ был отрицательным: $x-4 < 0$, то есть $x < 4$. Нам нужно найти пересечение множества $x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$ с условием $x < 4$. Пересекая $(-\infty, 4)$ и $(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$, получаем итоговый результат.
Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (2, 4)$.