Номер 193, страница 426 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 193, страница 426.

Условие.

193 $|x^2 - 8x + 15| \leq |15 - x^2|$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Исходное неравенство: $|x^2 - 8x + 15| \le |15 - x^2|$.

Воспользуемся свойством модуля $|-a| = |a|$. Тогда правую часть неравенства можно переписать: $|15 - x^2| = |-(x^2 - 15)| = |x^2 - 15|$.

Неравенство принимает вид:

$|x^2 - 8x + 15| \le |x^2 - 15|$

Так как обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$(x^2 - 8x + 15)^2 \le (x^2 - 15)^2$

Перенесем все слагаемые в левую часть и применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x^2 - 8x + 15)^2 - (x^2 - 15)^2 \le 0$

$((x^2 - 8x + 15) - (x^2 - 15)) \cdot ((x^2 - 8x + 15) + (x^2 - 15)) \le 0$

Упростим выражения в каждой из скобок.

Первая скобка: $x^2 - 8x + 15 - x^2 + 15 = -8x + 30$.

Вторая скобка: $x^2 - 8x + 15 + x^2 - 15 = 2x^2 - 8x$.

Подставим упрощенные выражения обратно в неравенство:

$(-8x + 30)(2x^2 - 8x) \le 0$

Вынесем общие множители из скобок для дальнейшего упрощения:

$-2(4x - 15) \cdot 2x(x - 4) \le 0$

$-4x(4x - 15)(x - 4) \le 0$

Разделим обе части неравенства на $-4$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x(4x - 15)(x - 4) \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Сначала найдем корни левой части, приравняв ее к нулю:

$x = 0$

$4x - 15 = 0 \implies 4x = 15 \implies x = \frac{15}{4}$

$x - 4 = 0 \implies x = 4$

Отметим найденные корни ($0$, $\frac{15}{4}$, $4$) на числовой прямой. Они разбивают прямую на четыре интервала. Определим знак выражения $x(4x - 15)(x - 4)$ в каждом интервале. Для $x > 4$ выражение положительно. Поскольку все корни имеют кратность 1, знаки в соседних интервалах будут чередоваться.

Знаки на интервалах будут следующими: $(-\infty, 0) \to -$; $(0, \frac{15}{4}) \to +$; $(\frac{15}{4}, 4) \to -$; $(4, +\infty) \to +$.

Нас интересуют промежутки, где выражение больше или равно нулю ($ \ge 0 $). Это промежутки со знаком «+», включая концы, так как неравенство нестрогое.

Таким образом, решением неравенства является объединение промежутков: $[0, \frac{15}{4}] \cup [4, +\infty)$.

Ответ: $x \in [0, \frac{15}{4}] \cup [4, +\infty)$.