Номер 186, страница 425 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 186, страница 425.

Условие.

186 a) $5 \sin x - \sin 2x > 0;$

б) $5 \cos x + \sin 2x < 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

a) $5\sin x - \sin 2x > 0$

Для решения данного неравенства воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$.

$5\sin x - 2\sin x \cos x > 0$

Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки:

$\sin x (5 - 2\cos x) > 0$

Это произведение будет больше нуля, если оба множителя имеют одинаковый знак. Рассмотрим второй множитель $(5 - 2\cos x)$.

Так как область значений функции косинус $-1 \le \cos x \le 1$, то:

$-2 \le -2\cos x \le 2$

Прибавим 5 ко всем частям двойного неравенства:

$5 - 2 \le 5 - 2\cos x \le 5 + 2$

$3 \le 5 - 2\cos x \le 7$

Это означает, что выражение $(5 - 2\cos x)$ всегда положительно при любом значении $x$. Следовательно, мы можем разделить обе части неравенства на это выражение, не меняя знака неравенства.

$\sin x > 0$

Решением этого простейшего тригонометрического неравенства являются все углы в I и II координатных четвертях. С учетом периодичности функции синус, общее решение можно записать в виде:

$2\pi k < x < \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (2\pi k; \pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

б) $5\cos x + \sin 2x < 0$

Используем формулу синуса двойного угла: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$.

$5\cos x + 2\sin x \cos x < 0$

Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:

$\cos x (5 + 2\sin x) < 0$

Это произведение будет меньше нуля, если множители имеют разные знаки. Рассмотрим второй множитель $(5 + 2\sin x)$.

Так как область значений функции синус $-1 \le \sin x \le 1$, то:

$-2 \le 2\sin x \le 2$

Прибавим 5 ко всем частям двойного неравенства:

$5 - 2 \le 5 + 2\sin x \le 5 + 2$

$3 \le 5 + 2\sin x \le 7$

Это означает, что выражение $(5 + 2\sin x)$ всегда положительно при любом значении $x$. Следовательно, мы можем разделить обе части неравенства на это выражение, не меняя знака неравенства.

$\cos x < 0$

Решением этого простейшего тригонометрического неравенства являются все углы во II и III координатных четвертях. С учетом периодичности функции косинус, общее решение можно записать в виде:

$\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.