Номер 184, страница 425 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 184, страница 425.

Условие.

$184 \log_{\left(\sqrt{31}-\sqrt{21}\right)}\left(x^2-9\right) \ge 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решим данное логарифмическое неравенство $log_{(\sqrt{31}-\sqrt{21})} (x^2 - 9) \ge 0$.

1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ).
Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля, а основание должно быть больше нуля и не равно единице.
а) Аргумент:
$x^2 - 9 > 0$
$x^2 > 9$
$|x| > 3$
Следовательно, $x \in (-\infty, -3) \cup (3, +\infty)$.
б) Основание: $a = \sqrt{31} - \sqrt{21}$.
Поскольку $31 > 21$, то $\sqrt{31} > \sqrt{21}$, и $a > 0$.
Проверим, не равно ли основание единице. Сравним $a$ с 1:
$\sqrt{31} - \sqrt{21} \vee 1$
$\sqrt{31} \vee 1 + \sqrt{21}$
Так как обе части положительны, возведем их в квадрат:
$(\sqrt{31})^2 \vee (1 + \sqrt{21})^2$
$31 \vee 1 + 2\sqrt{21} + 21$
$31 \vee 22 + 2\sqrt{21}$
$9 \vee 2\sqrt{21}$
Снова возведем в квадрат (обе части положительны):
$81 \vee 4 \cdot 21$
$81 \vee 84$
$81 < 84$.
Значит, $\sqrt{31} - \sqrt{21} < 1$.
Таким образом, основание логарифма $a$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$.

2. Решение неравенства.
Исходное неравенство:
$log_{(\sqrt{31}-\sqrt{21})} (x^2 - 9) \ge 0$
Представим 0 как логарифм по тому же основанию: $0 = log_{(\sqrt{31}-\sqrt{21})} (1)$.
$log_{(\sqrt{31}-\sqrt{21})} (x^2 - 9) \ge log_{(\sqrt{31}-\sqrt{21})} (1)$
Так как основание логарифма $a = \sqrt{31} - \sqrt{21}$ находится в интервале $(0, 1)$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства необходимо изменить на противоположный:
$x^2 - 9 \le 1$
$x^2 - 10 \le 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 10 = 0$: $x = \pm\sqrt{10}$.
Решением неравенства $(x - \sqrt{10})(x + \sqrt{10}) \le 0$ является промежуток $x \in [-\sqrt{10}, \sqrt{10}]$.

3. Пересечение с ОДЗ.
Теперь необходимо найти пересечение найденного решения с областью допустимых значений:
$\begin{cases} x \in [-\sqrt{10}, \sqrt{10}] \\ x \in (-\infty, -3) \cup (3, +\infty) \end{cases}$
Поскольку $9 < 10 < 16$, то $3 < \sqrt{10} < 4$.
Таким образом, $-4 < -\sqrt{10} < -3$.
Пересечение множества $[-\sqrt{10}, \sqrt{10}]$ с множеством $(-\infty, -3) \cup (3, +\infty)$ дает нам два интервала: $[-\sqrt{10}, -3)$ и $(3, \sqrt{10}]$.
Объединение этих интервалов и является окончательным решением.
Ответ: $x \in [-\sqrt{10}, -3) \cup (3, \sqrt{10}]$