Номер 185, страница 425 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 185, страница 425.

Условие.

Решите неравенство (185–189):

185 a) $ \text{tg } 3x > 0; $ б) $ \text{tg} \left( x + \frac{\pi}{4} \right) < 1; $ в) $ \text{tg} \left( x - \frac{\pi}{6} \right) \ge \frac{\sqrt{3}}{3}; $

г) $ \text{ctg } 2x \le 0; $ д) $ \text{ctg} \left( 2x - \frac{4\pi}{3} \right) > \sqrt{3}; $ е) $ \text{ctg} \left( x - \frac{\pi}{4} \right) \ge -1. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Решим неравенство $\operatorname{tg} 3x > 0$.

Сделаем замену переменной $t = 3x$. Неравенство примет вид $\operatorname{tg} t > 0$.

Функция тангенс положительна в I и III координатных четвертях. Решением неравенства $\operatorname{tg} t > 0$ является совокупность интервалов:

$\pi n < t < \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, подставив $t = 3x$:

$\pi n < 3x < \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Разделим все части неравенства на 3:

$\frac{\pi n}{3} < x < \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in \left(\frac{\pi n}{3}; \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}\right), n \in \mathbb{Z}$.

б)

Решим неравенство $\operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right) < 1$.

Сделаем замену $t = x + \frac{\pi}{4}$. Неравенство примет вид $\operatorname{tg} t < 1$.

Область определения тангенса $t \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Решим уравнение $\operatorname{tg} t = 1$, его решение $t = \frac{\pi}{4} + \pi n$.

На основном интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ функция $\operatorname{tg} t$ возрастает. Поэтому неравенство $\operatorname{tg} t < 1$ выполняется при $-\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{4}$.

Учитывая периодичность, общее решение для $t$:

$-\frac{\pi}{2} + \pi n < t < \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Подставим обратно $t = x + \frac{\pi}{4}$:

$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x + \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{4} + \pi n$.

Вычтем $\frac{\pi}{4}$ из всех частей неравенства:

$-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + \pi n$.

$-\frac{3\pi}{4} + \pi n < x < \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in \left(-\frac{3\pi}{4} + \pi n; \pi n\right), n \in \mathbb{Z}$.

в)

Решим неравенство $\operatorname{tg}\left(x - \frac{\pi}{6}\right) \ge \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Пусть $t = x - \frac{\pi}{6}$. Получим $\operatorname{tg} t \ge \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Область определения тангенса $t \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$. Решение уравнения $\operatorname{tg} t = \frac{\sqrt{3}}{3}$ есть $t = \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Функция $\operatorname{tg} t$ возрастает на каждом интервале своей области определения. Поэтому неравенство $\operatorname{tg} t \ge \frac{\sqrt{3}}{3}$ выполняется на промежутках, где тангенс определён и его значение больше или равно $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Это соответствует промежуткам $\left[\frac{\pi}{6} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n\right)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$\frac{\pi}{6} + \pi n \le t < \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Вернемся к переменной $x$:

$\frac{\pi}{6} + \pi n \le x - \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Прибавим $\frac{\pi}{6}$ ко всем частям:

$\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + \pi n \le x < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + \pi n$.

$\frac{2\pi}{6} + \pi n \le x < \frac{3\pi+ \pi}{6} + \pi n$.

$\frac{\pi}{3} + \pi n \le x < \frac{2\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in \left[\frac{\pi}{3} + \pi n; \frac{2\pi}{3} + \pi n\right), n \in \mathbb{Z}$.

г)

Решим неравенство $\operatorname{ctg} 2x \le 0$.

Сделаем замену $t = 2x$. Получим $\operatorname{ctg} t \le 0$.

Функция котангенс не положительна (т.е. $\le 0$) во II и IV координатных четвертях, включая точки, где $\operatorname{ctg} t = 0$.

$\operatorname{ctg} t = 0$ при $t = \frac{\pi}{2} + \pi n$. Область определения котангенса $t \neq \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Решение неравенства $\operatorname{ctg} t \le 0$ на тригонометрическом круге - это промежуток $[\frac{\pi}{2}, \pi)$ и его сдвиги на $\pi n$.

Таким образом, $\frac{\pi}{2} + \pi n \le t < \pi + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Вернемся к $x$:

$\frac{\pi}{2} + \pi n \le 2x < \pi + \pi n$.

Разделим на 2:

$\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} \le x < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in \left[\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}; \frac{\pi}{2} + \frac{\pi n}{2}\right), n \in \mathbb{Z}$.

д)

Решим неравенство $\operatorname{ctg}\left(2x - \frac{4\pi}{3}\right) > \sqrt{3}$.

Пусть $t = 2x - \frac{4\pi}{3}$. Получим $\operatorname{ctg} t > \sqrt{3}$.

Область определения котангенса $t \neq \pi n$. Решение уравнения $\operatorname{ctg} t = \sqrt{3}$ есть $t = \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Функция $\operatorname{ctg} t$ убывает на каждом интервале своей области определения $(\pi n, \pi + \pi n)$.

Следовательно, неравенство $\operatorname{ctg} t > \sqrt{3}$ выполняется, когда $t$ находится между точкой разрыва и точкой, где $\operatorname{ctg} t = \sqrt{3}$.

$\pi n < t < \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Подставим $t = 2x - \frac{4\pi}{3}$:

$\pi n < 2x - \frac{4\pi}{3} < \frac{\pi}{6} + \pi n$.

Прибавим $\frac{4\pi}{3}$ ко всем частям:

$\frac{4\pi}{3} + \pi n < 2x < \frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{3} + \pi n$.

$\frac{4\pi}{3} + \pi n < 2x < \frac{\pi + 8\pi}{6} + \pi n$.

$\frac{4\pi}{3} + \pi n < 2x < \frac{3\pi}{2} + \pi n$.

Разделим на 2:

$\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi n}{2} < x < \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in \left(\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi n}{2}; \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}\right), n \in \mathbb{Z}$.

е)

Решим неравенство $\operatorname{ctg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \ge -1$.

Пусть $t = x - \frac{\pi}{4}$. Получим $\operatorname{ctg} t \ge -1$.

Область определения котангенса $t \neq \pi n$. Решение уравнения $\operatorname{ctg} t = -1$ есть $t = \frac{3\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Функция $\operatorname{ctg} t$ убывающая. Неравенство $\operatorname{ctg} t \ge -1$ выполняется на промежутках, где котангенс определён и его значение больше или равно -1.

Это соответствует промежуткам $(\pi n, \frac{3\pi}{4} + \pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$\pi n < t \le \frac{3\pi}{4} + \pi n$.

Вернемся к переменной $x$:

$\pi n < x - \frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{4} + \pi n$.

Прибавим $\frac{\pi}{4}$ ко всем частям:

$\frac{\pi}{4} + \pi n < x \le \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + \pi n$.

$\frac{\pi}{4} + \pi n < x \le \pi + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in \left(\frac{\pi}{4} + \pi n; \pi + \pi n\right], n \in \mathbb{Z}$.