Номер 182, страница 425 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 182, страница 425.

Условие.

182 $\frac{1}{2} \log_3 x^2 \ge \frac{1}{3} \log_3 (-x^3).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для решения неравенства $ \frac{1}{2} \log_3 x^2 \ge \frac{1}{3} \log_3 (-x^3) $ сначала найдем его область допустимых значений (ОДЗ).

Определение области допустимых значений (ОДЗ)
Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля. Это приводит к системе неравенств: $$ \begin{cases} x^2 > 0 \\ -x^3 > 0 \end{cases} $$ Решим эту систему.
1. Первое неравенство $x^2 > 0$ верно для всех действительных чисел, кроме $x=0$.
2. Второе неравенство $-x^3 > 0$ равносильно неравенству $x^3 < 0$, что верно при $x < 0$.
Пересечение этих двух условий ($x \neq 0$ и $x < 0$) дает нам ОДЗ: $x < 0$.

Преобразование и решение неравенства
Упростим исходное неравенство, используя свойства логарифмов.
Для левой части используем свойство $\log_a (b^{2k}) = 2k \log_a |b|$ для четной степени: $$ \frac{1}{2} \log_3 x^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \log_3 |x| = \log_3 |x| $$ Для правой части, представим $-x^3$ как $(-x)^3$. Поскольку из ОДЗ мы знаем, что $x<0$, то $-x>0$. Следовательно, можно вынести нечетную степень 3 из-под знака логарифма: $$ \frac{1}{3} \log_3 (-x^3) = \frac{1}{3} \log_3 ((-x)^3) = \frac{1}{3} \cdot 3 \log_3(-x) = \log_3(-x) $$ Неравенство принимает вид: $$ \log_3 |x| \ge \log_3 (-x) $$

Основание логарифма $3$ больше 1, поэтому функция $y=\log_3 t$ является возрастающей. Это значит, что при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется: $$ |x| \ge -x $$

Мы решаем это неравенство на ОДЗ, то есть при $x < 0$. Для отрицательных значений $x$ по определению модуля $|x| = -x$. Подставим это выражение в неравенство: $$ -x \ge -x $$ Это тождество, верное для любых значений $x$. Это означает, что все значения $x$ из области допустимых значений являются решениями исходного неравенства.

Таким образом, решением неравенства является вся его область допустимых значений.

Ответ: $(-\infty; 0)$.