Номер 203, страница 426 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 203, страница 426.

Условие.

203 a) $\frac{\sqrt{2x^2 - 5x - 3}}{6 + 3\sqrt{3x - 2x^2}} \ge 0;$

б) $\frac{\sqrt{x^2 + 5x - 84}}{x - 7} \ge 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

a)

Рассмотрим неравенство $\frac{\sqrt{2x^2 - 5x - 3}}{6 + 3\sqrt{3x - 2x^2}} \geq 0$.

Проанализируем числитель и знаменатель дроби. Числитель $\sqrt{2x^2 - 5x - 3}$ является арифметическим квадратным корнем, поэтому его значение всегда неотрицательно, то есть $\geq 0$.

Знаменатель $6 + 3\sqrt{3x - 2x^2}$ представляет собой сумму положительного числа 6 и неотрицательного выражения $3\sqrt{3x - 2x^2}$ (поскольку корень также неотрицателен). Таким образом, знаменатель всегда строго положителен, то есть $6 + 3\sqrt{3x - 2x^2} \geq 6 > 0$.

Дробь, у которой числитель неотрицателен, а знаменатель строго положителен, будет неотрицательной ($\geq 0$) всегда, когда она определена. Следовательно, решение исходного неравенства сводится к нахождению его области допустимых значений (ОДЗ).

ОДЗ определяется системой неравенств, исходя из того, что подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} 2x^2 - 5x - 3 \geq 0 \\ 3x - 2x^2 \geq 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $2x^2 - 5x - 3 \geq 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 - 5x - 3 = 0$.
Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.
Корни: $x_1 = \frac{5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -0.5$; $x_2 = \frac{5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$.
Парабола $y = 2x^2 - 5x - 3$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \leq -0.5$ или $x \geq 3$. Решение: $x \in (-\infty, -0.5] \cup [3, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $3x - 2x^2 \geq 0$.

Вынесем $x$ за скобки: $x(3 - 2x) \geq 0$.
Корни: $x_1 = 0$; $x_2 = 1.5$.
Парабола $y = 3x - 2x^2$ имеет ветви, направленные вниз, поэтому неравенство выполняется между корнями. Решение: $x \in [0, 1.5]$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Нам нужно найти общие значения для множеств $x \in (-\infty, -0.5] \cup [3, +\infty)$ и $x \in [0, 1.5]$.
Промежуток $(-\infty, -0.5]$ не имеет общих точек с промежутком $[0, 1.5]$.
Промежуток $[3, +\infty)$ также не имеет общих точек с промежутком $[0, 1.5]$.
Следовательно, пересечение этих множеств пусто. Это означает, что не существует таких значений $x$, при которых оба подкоренных выражения были бы неотрицательны одновременно.

Так как область допустимых значений пуста, исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: Нет решений.

б)

Рассмотрим неравенство $\frac{\sqrt{x^2 + 5x - 84}}{x - 7} \geq 0$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) данного неравенства. Для этого должны выполняться два условия:
1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^2 + 5x - 84 \geq 0$.
2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x - 7 \neq 0$.

Решим первое условие: $x^2 + 5x - 84 \geq 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 5x - 84 = 0$.
Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-84) = 25 + 336 = 361 = 19^2$.
Корни: $x_1 = \frac{-5 - 19}{2} = -12$; $x_2 = \frac{-5 + 19}{2} = 7$.
Парабола $y = x^2 + 5x - 84$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -12] \cup [7, +\infty)$.

Второе условие: $x \neq 7$.

Объединяя оба условия, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty, -12] \cup (7, \infty)$.

Теперь решим неравенство на его ОДЗ. Неравенство $\geq 0$ выполняется в двух случаях: когда дробь равна 0 или когда она строго больше 0.

Случай 1: Дробь равна 0.

$\frac{\sqrt{x^2 + 5x - 84}}{x - 7} = 0$.
Это возможно только тогда, когда числитель равен 0, а знаменатель не равен 0.
$\sqrt{x^2 + 5x - 84} = 0 \implies x^2 + 5x - 84 = 0$.
Корни этого уравнения: $x = -12$ и $x = 7$.
Корень $x = 7$ не входит в ОДЗ, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Корень $x = -12$ входит в ОДЗ. Следовательно, $x = -12$ является решением.

Случай 2: Дробь строго больше 0.

$\frac{\sqrt{x^2 + 5x - 84}}{x - 7} > 0$.
Числитель $\sqrt{x^2 + 5x - 84}$ всегда неотрицателен. Чтобы он был строго положителен, нужно, чтобы $x^2 + 5x - 84 > 0$, что выполняется при $x \in (-\infty, -12) \cup (7, \infty)$.
Для того чтобы вся дробь была положительной, при положительном числителе знаменатель также должен быть положительным.
$x - 7 > 0 \implies x > 7$.
Найдем пересечение условий для этого случая: $(x \in (-\infty, -12) \cup (7, \infty))$ и $(x > 7)$.
Пересечением является промежуток $(7, \infty)$.

Итоговое решение.

Объединим решения, полученные в обоих случаях:
Из случая 1: $x = -12$.
Из случая 2: $x \in (7, \infty)$.
Общее решение неравенства: $x \in \{-12\} \cup (7, \infty)$.

Ответ: $x \in \{-12\} \cup (7, \infty)$.