Номер 209, страница 427 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 209, страница 427.

Условие.

209 a) $\frac{|3x+1|-7}{x+2} \ge -1;$

Б) $\frac{|6x+3|-11}{x-1} \le 0;$

В) $\frac{\sqrt{x+6}}{2x-3} < 1;$

Г) $\frac{\sqrt{2x-1}}{x-2} < 1;$

Д) $-x^2+x+8 > 2|x+1|;$

Е) $-x^2-2x+33 > 3|x-1|.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Решим неравенство $\frac{|3x+1|-7}{x+2} \ge -1$.

Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{|3x+1|-7}{x+2} + 1 \ge 0$

$\frac{|3x+1|-7 + (x+2)}{x+2} \ge 0$

$\frac{|3x+1|+x-5}{x+2} \ge 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x+2 \ne 0 \implies x \ne -2$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая. Выражение под модулем $3x+1$ равно нулю при $x = -1/3$.

Случай 1: $3x+1 \ge 0$, то есть $x \ge -1/3$.

В этом случае $|3x+1| = 3x+1$. Неравенство принимает вид:

$\frac{(3x+1)+x-5}{x+2} \ge 0$

$\frac{4x-4}{x+2} \ge 0$

$\frac{4(x-1)}{x+2} \ge 0$

Решим методом интервалов. Нули числителя: $x=1$. Нули знаменателя: $x=-2$.

На числовой прямой отмечаем точки $-2$ и $1$. Знаки выражения $\frac{x-1}{x+2}$ на интервалах: $(-\infty, -2): +$; $(-2, 1): -$; $(1, \infty): +$.

Нам нужно $\ge 0$, поэтому решением является $(-\infty, -2) \cup [1, \infty)$.

Учитывая условие этого случая $x \ge -1/3$, получаем решение: $[1, \infty)$.

Случай 2: $3x+1 < 0$, то есть $x < -1/3$.

В этом случае $|3x+1| = -(3x+1)$. Неравенство принимает вид:

$\frac{-(3x+1)+x-5}{x+2} \ge 0$

$\frac{-2x-6}{x+2} \ge 0$

$\frac{-2(x+3)}{x+2} \ge 0$

Разделив на $-2$, изменим знак неравенства:

$\frac{x+3}{x+2} \le 0$

Решим методом интервалов. Нули числителя: $x=-3$. Нули знаменателя: $x=-2$.

На числовой прямой отмечаем точки $-3$ и $-2$. Знаки выражения $\frac{x+3}{x+2}$ на интервалах: $(-\infty, -3): +$; $(-3, -2): -$; $(-2, \infty): +$.

Нам нужно $\le 0$, поэтому решением является $[-3, -2)$.

Учитывая условие этого случая $x < -1/3$, решение остается $[-3, -2)$.

Объединяем решения из обоих случаев: $[-3, -2) \cup [1, \infty)$.

Ответ: $x \in [-3, -2) \cup [1, \infty)$.

б) Решим неравенство $\frac{|6x+3|-11}{x-1} \le 0$.

ОДЗ: $x-1 \ne 0 \implies x \ne 1$.

Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $|6x+3|-11=0 \implies |6x+3|=11$.

$6x+3=11 \implies 6x=8 \implies x = 4/3$.

$6x+3=-11 \implies 6x=-14 \implies x = -7/3$.

Нуль знаменателя: $x-1=0 \implies x=1$.

Отметим точки $-7/3$, $1$, $4/3$ на числовой прямой и определим знаки выражения $f(x) = \frac{|6x+3|-11}{x-1}$ на полученных интервалах.

• При $x > 4/3$ (например, $x=2$): $f(2) = \frac{|15|-11}{1} > 0$.
• При $1 < x < 4/3$ (например, $x=1.1$): $f(1.1) = \frac{|9.6|-11}{0.1} < 0$.
• При $-7/3 < x < 1$ (например, $x=0$): $f(0) = \frac{|3|-11}{-1} > 0$.
• При $x < -7/3$ (например, $x=-3$): $f(-3) = \frac{|-15|-11}{-4} < 0$.

Нам нужно, чтобы выражение было $\le 0$. Это выполняется на интервалах $(-\infty, -7/3)$ и $(1, 4/3)$. Включаем нули числителя ($x=-7/3, x=4/3$) и исключаем нуль знаменателя ($x=1$).

Таким образом, решение: $(-\infty, -7/3] \cup (1, 4/3]$.

Ответ: $x \in (-\infty, -7/3] \cup (1, 4/3]$.

в) Решим неравенство $\frac{\sqrt{x+6}}{2x-3} < 1$.

ОДЗ: $x+6 \ge 0$ и $2x-3 \ne 0$, что дает $x \ge -6$ и $x \ne 3/2$.

Рассмотрим два случая в зависимости от знака знаменателя.

Случай 1: $2x-3 > 0$, то есть $x > 3/2$.

В этом случае можно умножить обе части на $2x-3$, сохранив знак неравенства:

$\sqrt{x+6} < 2x-3$

Обе части неравенства неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат:

$x+6 < (2x-3)^2$

$x+6 < 4x^2 - 12x + 9$

$4x^2 - 13x + 3 > 0$

Корни квадратного трехчлена $4x^2 - 13x + 3 = 0$: $x_1 = 1/4, x_2 = 3$.

Решение квадратного неравенства: $(-\infty, 1/4) \cup (3, \infty)$.

Учитывая условие $x > 3/2$ ($x>1.5$), получаем решение для этого случая: $(3, \infty)$.

Случай 2: $2x-3 < 0$, то есть $x < 3/2$.

В этом случае знаменатель отрицателен, а числитель $\sqrt{x+6}$ неотрицателен. Поэтому вся дробь $\frac{\sqrt{x+6}}{2x-3}$ является неположительной. Любое неположительное число меньше 1. Следовательно, неравенство выполняется для всех $x$, удовлетворяющих условию $x < 3/2$ и ОДЗ $x \ge -6$.

Пересекая $x < 3/2$ и $x \ge -6$, получаем решение для этого случая: $[-6, 3/2)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ: $[-6, 3/2) \cup (3, \infty)$.

Ответ: $x \in [-6, 3/2) \cup (3, \infty)$.

г) Решим неравенство $\frac{\sqrt{2x-1}}{x-2} < 1$.

ОДЗ: $2x-1 \ge 0$ и $x-2 \ne 0$, что дает $x \ge 1/2$ и $x \ne 2$.

Рассмотрим два случая в зависимости от знака знаменателя.

Случай 1: $x-2 > 0$, то есть $x > 2$.

Умножим обе части на $x-2$:

$\sqrt{2x-1} < x-2$

Обе части неотрицательны, возводим в квадрат:

$2x-1 < (x-2)^2$

$2x-1 < x^2 - 4x + 4$

$x^2 - 6x + 5 > 0$

Корни квадратного трехчлена $x^2 - 6x + 5 = 0$: $x_1=1, x_2=5$.

Решение квадратного неравенства: $(-\infty, 1) \cup (5, \infty)$.

Учитывая условие $x > 2$, получаем решение для этого случая: $(5, \infty)$.

Случай 2: $x-2 < 0$, то есть $x < 2$.

Знаменатель отрицателен, числитель неотрицателен. Дробь $\le 0$ и, следовательно, меньше 1. Неравенство выполняется для всех $x$, удовлетворяющих условию $x < 2$ и ОДЗ $x \ge 1/2$.

Пересекая $x < 2$ и $x \ge 1/2$, получаем решение для этого случая: $[1/2, 2)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ: $[1/2, 2) \cup (5, \infty)$.

Ответ: $x \in [1/2, 2) \cup (5, \infty)$.

д) Решим неравенство $-x^2+x+8 > 2|x+1|$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая. Точка смены знака подмодульного выражения $x+1$: $x=-1$.

Случай 1: $x+1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$.

Неравенство принимает вид: $-x^2+x+8 > 2(x+1)$.

$-x^2+x+8 > 2x+2$

$-x^2-x+6 > 0$

$x^2+x-6 < 0$

Корни $x^2+x-6=0$: $x_1=-3, x_2=2$.

Решение квадратного неравенства: $(-3, 2)$.

Учитывая условие $x \ge -1$, получаем решение: $[-1, 2)$.

Случай 2: $x+1 < 0$, то есть $x < -1$.

Неравенство принимает вид: $-x^2+x+8 > -2(x+1)$.

$-x^2+x+8 > -2x-2$

$-x^2+3x+10 > 0$

$x^2-3x-10 < 0$

Корни $x^2-3x-10=0$: $x_1=-2, x_2=5$.

Решение квадратного неравенства: $(-2, 5)$.

Учитывая условие $x < -1$, получаем решение: $(-2, -1)$.

Объединяя решения из обоих случаев: $(-2, -1) \cup [-1, 2) = (-2, 2)$.

Ответ: $x \in (-2, 2)$.

е) Решим неравенство $-x^2-2x+33 > 3|x-1|$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая. Точка смены знака подмодульного выражения $x-1$: $x=1$.

Случай 1: $x-1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$.

Неравенство принимает вид: $-x^2-2x+33 > 3(x-1)$.

$-x^2-2x+33 > 3x-3$

$-x^2-5x+36 > 0$

$x^2+5x-36 < 0$

Корни $x^2+5x-36=0$: $x_1=-9, x_2=4$.

Решение квадратного неравенства: $(-9, 4)$.

Учитывая условие $x \ge 1$, получаем решение: $[1, 4)$.

Случай 2: $x-1 < 0$, то есть $x < 1$.

Неравенство принимает вид: $-x^2-2x+33 > -3(x-1)$.

$-x^2-2x+33 > -3x+3$

$-x^2+x+30 > 0$

$x^2-x-30 < 0$

Корни $x^2-x-30=0$: $x_1=-5, x_2=6$.

Решение квадратного неравенства: $(-5, 6)$.

Учитывая условие $x < 1$, получаем решение: $(-5, 1)$.

Объединяя решения из обоих случаев: $(-5, 1) \cup [1, 4) = (-5, 4)$.

Ответ: $x \in (-5, 4)$.