Номер 215, страница 427 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 215, страница 427.

Условие.

215 $2^{\lg(x^2 - 1)} \ge (x + 1)^{\lg 2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для решения неравенства $2^{\lg(x^2 - 1)} \ge (x+1)^{\lg 2}$ сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть положительным, и основание степени с иррациональным показателем также должно быть положительным. Это приводит к системе неравенств:

$x^2 - 1 > 0$ и $x + 1 > 0$.

Из первого неравенства $x^2 > 1$ следует, что $x < -1$ или $x > 1$. Второе неравенство дает $x > -1$. Пересекая эти условия, получаем ОДЗ: $x > 1$, то есть $x \in (1, \infty)$.

Теперь преобразуем исходное неравенство. Используем свойство $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$ для левой части:

$2^{\lg(x^2 - 1)} = (x^2 - 1)^{\lg 2}$

Неравенство принимает вид:

$(x^2 - 1)^{\lg 2} \ge (x+1)^{\lg 2}$

Разложим $x^2 - 1$ на множители: $(x-1)(x+1)$.

$((x-1)(x+1))^{\lg 2} \ge (x+1)^{\lg 2}$

$(x-1)^{\lg 2} \cdot (x+1)^{\lg 2} \ge (x+1)^{\lg 2}$

Так как на ОДЗ ($x > 1$) выражение $x+1$ положительно, то и $(x+1)^{\lg 2}$ тоже положительно (поскольку $\lg 2 > 0$). Поэтому мы можем разделить обе части неравенства на $(x+1)^{\lg 2}$, сохранив знак неравенства:

$(x-1)^{\lg 2} \ge 1$

Поскольку показатель степени $\lg 2 > 0$ и основание $x-1 > 0$ (так как $x > 1$), степенная функция $y=t^{\lg 2}$ является возрастающей для $t>0$. Представим $1$ как $1^{\lg 2}$:

$(x-1)^{\lg 2} \ge 1^{\lg 2}$

Из этого следует, что основания степеней находятся в том же соотношении:

$x-1 \ge 1$

$x \ge 2$

Полученное решение $x \ge 2$ полностью входит в область допустимых значений $x > 1$.

Ответ: $x \in [2, \infty)$.