Номер 221, страница 428 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 221, страница 428.

Условие.

Решите систему уравнений (221—234):

221 а) $\begin{cases} x - 3y^2 = 8 \\ x + 4y^2 = 15; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x - 5y^2 = 10 \\ x + 3y^2 = 18; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x - 7y^2 = 9 \\ x + 2y^2 = 18; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x - 2y^2 = 12 \\ x + 7y^2 = 21. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x - 3y^2 = 8 \\ x + 4y^2 = 15 \end{cases} $$

Для решения этой системы удобно использовать метод алгебраического сложения (в данном случае вычитания). Вычтем первое уравнение из второго, чтобы исключить переменную x:

$$ (x + 4y^2) - (x - 3y^2) = 15 - 8 $$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$$ x + 4y^2 - x + 3y^2 = 7 $$ $$ 7y^2 = 7 $$

Отсюда находим $y^2$:

$$ y^2 = 1 $$

Это уравнение имеет два корня: $y_1 = 1$ и $y_2 = -1$.

Теперь подставим найденное значение $y^2 = 1$ в любое из исходных уравнений системы для нахождения x. Воспользуемся первым уравнением:

$$ x - 3(1) = 8 $$ $$ x - 3 = 8 $$ $$ x = 11 $$

Таким образом, мы получили два решения системы.

Ответ: $(11, 1), (11, -1)$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x - 5y^2 = 10 \\ x + 3y^2 = 18 \end{cases} $$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы исключить переменную x:

$$ (x + 3y^2) - (x - 5y^2) = 18 - 10 $$

Упростим полученное уравнение:

$$ x + 3y^2 - x + 5y^2 = 8 $$ $$ 8y^2 = 8 $$

Отсюда находим $y^2$:

$$ y^2 = 1 $$

Следовательно, $y_1 = 1$ и $y_2 = -1$.

Подставим $y^2 = 1$ в первое уравнение системы для нахождения x:

$$ x - 5(1) = 10 $$ $$ x - 5 = 10 $$ $$ x = 15 $$

Решениями системы являются две пары чисел.

Ответ: $(15, 1), (15, -1)$.

в)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x - 7y^2 = 9 \\ x + 2y^2 = 18 \end{cases} $$

Воспользуемся методом вычитания. Вычтем первое уравнение из второго:

$$ (x + 2y^2) - (x - 7y^2) = 18 - 9 $$

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

$$ x + 2y^2 - x + 7y^2 = 9 $$ $$ 9y^2 = 9 $$

Находим значение $y^2$:

$$ y^2 = 1 $$

Отсюда $y_1 = 1$ и $y_2 = -1$.

Теперь найдем x, подставив $y^2 = 1$ в первое уравнение:

$$ x - 7(1) = 9 $$ $$ x - 7 = 9 $$ $$ x = 16 $$

Таким образом, решениями системы являются две пары.

Ответ: $(16, 1), (16, -1)$.

г)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x - 2y^2 = 12 \\ x + 7y^2 = 21 \end{cases} $$

Применим метод вычитания, вычтя первое уравнение из второго:

$$ (x + 7y^2) - (x - 2y^2) = 21 - 12 $$

Упростим выражение:

$$ x + 7y^2 - x + 2y^2 = 9 $$ $$ 9y^2 = 9 $$

Отсюда получаем значение $y^2$:

$$ y^2 = 1 $$

Следовательно, $y_1 = 1$ и $y_2 = -1$.

Подставим $y^2 = 1$ в первое уравнение, чтобы найти x:

$$ x - 2(1) = 12 $$ $$ x - 2 = 12 $$ $$ x = 14 $$

Решениями данной системы являются две пары чисел.

Ответ: $(14, 1), (14, -1)$.