Номер 218, страница 428 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 218, страница 428.

Условие.

218 $|x - 6| + \sqrt{3x + 1} \le 5$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решим неравенство $|x - 6| + \sqrt{3x + 1} \le 5$.

1. Определение Области допустимых значений (ОДЗ)

Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным, поэтому:

$3x + 1 \ge 0$

$3x \ge -1$

$x \ge -1/3$

Следовательно, ОДЗ: $x \in [-1/3, +\infty)$.

2. Рассмотрение случаев для раскрытия модуля

Разобьем решение на два случая в зависимости от знака выражения под модулем $x-6$. Точка смены знака: $x = 6$.

Случай 1: $x \ge 6$

В этом интервале $|x - 6| = x - 6$. Неравенство принимает вид:

$x - 6 + \sqrt{3x + 1} \le 5$

$\sqrt{3x + 1} \le 11 - x$

Это иррациональное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} 3x + 1 \ge 0 \\ 11 - x \ge 0 \\ 3x + 1 \le (11 - x)^2 \end{cases}$

Первое условие $x \ge -1/3$ выполняется, так как мы рассматриваем случай $x \ge 6$.

Второе условие: $11 - x \ge 0 \implies x \le 11$.

Третье условие (возводим в квадрат):

$3x + 1 \le 121 - 22x + x^2$

$x^2 - 25x + 120 \ge 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 25x + 120 = 0$ через дискриминант:

$D = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 120 = 625 - 480 = 145$

$x_{1,2} = \frac{25 \pm \sqrt{145}}{2}$

Решением неравенства $x^2 - 25x + 120 \ge 0$ является объединение промежутков: $x \in (-\infty, \frac{25 - \sqrt{145}}{2}] \cup [\frac{25 + \sqrt{145}}{2}, +\infty)$.

Теперь найдем пересечение всех условий для первого случая: $x \in [6, 11]$ и $x \in (-\infty, \frac{25 - \sqrt{145}}{2}] \cup [\frac{25 + \sqrt{145}}{2}, +\infty)$.

Оценим значения корней: $12 < \sqrt{145} < 13$. Тогда $\frac{25 - 13}{2} < \frac{25 - \sqrt{145}}{2} < \frac{25 - 12}{2}$, то есть $6 < \frac{25 - \sqrt{145}}{2} < 6.5$. А $\frac{25 + \sqrt{145}}{2} > \frac{25+12}{2} = 18.5$, что больше 11.

Таким образом, решение в этом случае: $x \in [6, \frac{25 - \sqrt{145}}{2}]$.

Случай 2: $-1/3 \le x < 6$

В этом интервале $|x - 6| = -(x - 6) = 6 - x$. Неравенство принимает вид:

$6 - x + \sqrt{3x + 1} \le 5$

$\sqrt{3x + 1} \le x - 1$

Это неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} 3x + 1 \ge 0 \\ x - 1 \ge 0 \\ 3x + 1 \le (x - 1)^2 \end{cases}$

Объединяя условие случая $-1/3 \le x < 6$ с условием $x - 1 \ge 0$ (т.е. $x \ge 1$), получаем интервал $x \in [1, 6)$.

Решим третье неравенство:

$3x + 1 \le x^2 - 2x + 1$

$x^2 - 5x \ge 0$

$x(x - 5) \ge 0$

Решением является $x \in (-\infty, 0] \cup [5, +\infty)$.

Найдем пересечение интервала $x \in [1, 6)$ с полученным решением: $[1, 6) \cap ((-\infty, 0] \cup [5, +\infty)) = [5, 6)$.

Решение во втором случае: $x \in [5, 6)$.

3. Объединение решений

Для получения окончательного ответа объединим решения, найденные в обоих случаях:

$x \in [5, 6) \cup [6, \frac{25 - \sqrt{145}}{2}]$

Итоговое решение: $x \in [5, \frac{25 - \sqrt{145}}{2}] $.

Ответ: $x \in [5, \frac{25 - \sqrt{145}}{2}]$.