Номер 220, страница 428 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 220, страница 428.

Условие.

220 $\frac{1}{x+1} + \frac{1}{|x|} \ge 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решим неравенство: $$ \frac{1}{x+1} + \frac{1}{|x|} \ge 0 $$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$$ x+1 \ne 0 \implies x \ne -1 $$

$$ |x| \ne 0 \implies x \ne 0 $$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; +\infty)$.

Для решения неравенства, содержащего модуль, рассмотрим два случая, в зависимости от знака подмодульного выражения.

Рассмотрим случай, когда $x > 0$

В этом случае $|x| = x$. Неравенство принимает вид:

$$ \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x} \ge 0 $$

Приводим дроби к общему знаменателю $x(x+1)$:

$$ \frac{x + (x+1)}{x(x+1)} \ge 0 $$

$$ \frac{2x+1}{x(x+1)} \ge 0 $$

Так как мы рассматриваем интервал $x > 0$, оба множителя в знаменателе, $x$ и $x+1$, являются положительными. Следовательно, знаменатель $x(x+1)$ также положителен. Поэтому знак дроби определяется знаком числителя. Неравенство сводится к следующему:

$$ 2x+1 \ge 0 $$

$$ 2x \ge -1 $$

$$ x \ge -0.5 $$

Учитывая исходное условие для этого случая ($x > 0$), решением будет пересечение множеств $x \ge -0.5$ и $x > 0$, что дает интервал $x \in (0; +\infty)$.

Рассмотрим случай, когда $x < 0$

В этом случае $|x| = -x$. Неравенство принимает вид:

$$ \frac{1}{x+1} + \frac{1}{-x} \ge 0 $$

$$ \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x} \ge 0 $$

Приводим к общему знаменателю $x(x+1)$:

$$ \frac{x - (x+1)}{x(x+1)} \ge 0 $$

$$ \frac{-1}{x(x+1)} \ge 0 $$

Чтобы дробь с отрицательным числителем (-1) была неотрицательной, ее знаменатель должен быть строго отрицательным (равенство нулю недопустимо по ОДЗ).

$$ x(x+1) < 0 $$

Решим это квадратичное неравенство методом интервалов. Корни выражения $x(x+1)$ равны $x=0$ и $x=-1$. Графиком функции $y=x(x+1)$ является парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает отрицательные значения между корнями.

$$ -1 < x < 0 $$

Полученный интервал $x \in (-1; 0)$ полностью удовлетворяет условию $x < 0$ и входит в ОДЗ.

Объединяем решения, полученные в обоих случаях. Решением неравенства является объединение интервалов $x \in (-1; 0)$ и $x \in (0; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-1; 0) \cup (0; +\infty)$.