Номер 223, страница 428 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 223, страница 428.

Условие.

223 $\begin{cases}x^2 + xy + y^2 + x + y = 57 \\\frac{(x + y)^5 + (x - y)^5}{(x + y)^5 - (x - y)^5} = \frac{1025}{1023}\end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для решения данной системы уравнений начнем с анализа и упрощения второго уравнения.

Шаг 1: Упрощение второго уравнения

Второе уравнение системы имеет вид:

$$ \frac{(x + y)^5 + (x - y)^5}{(x + y)^5 - (x - y)^5} = \frac{1025}{1023} $$

Чтобы упростить это уравнение, введем замены: пусть $ a = (x+y)^5 $ и $ b = (x-y)^5 $. Тогда уравнение принимает вид:

$$ \frac{a+b}{a-b} = \frac{1025}{1023} $$

Применим свойство пропорции (перекрестное умножение):

$ 1023(a+b) = 1025(a-b) $

$ 1023a + 1023b = 1025a - 1025b $

$ 1023b + 1025b = 1025a - 1023a $

$ 2048b = 2a $

$ a = 1024b $

Теперь вернемся к исходным переменным $ x $ и $ y $:

$ (x+y)^5 = 1024(x-y)^5 $

Извлечем корень пятой степени из обеих частей уравнения. Учитывая, что $ 1024 = 4^5 $, получаем:

$ \sqrt[5]{(x+y)^5} = \sqrt[5]{4^5(x-y)^5} $

$ x+y = 4(x-y) $

$ x+y = 4x - 4y $

$ 5y = 3x $

Мы получили простое линейное соотношение между $ x $ и $ y $.

Шаг 2: Подстановка в первое уравнение

Из соотношения $ 3x = 5y $ мы можем выразить $ x $ и $ y $ через некоторый параметр $ k $:

$ x = 5k $

$ y = 3k $

Подставим эти выражения в первое уравнение системы:

$$ x^2 + xy + y^2 + x + y = 57 $$

$ (5k)^2 + (5k)(3k) + (3k)^2 + (5k) + (3k) = 57 $

$ 25k^2 + 15k^2 + 9k^2 + 8k = 57 $

Складываем подобные члены и получаем квадратное уравнение относительно $ k $:

$ 49k^2 + 8k - 57 = 0 $

Шаг 3: Решение квадратного уравнения

Решим полученное квадратное уравнение $ 49k^2 + 8k - 57 = 0 $ с помощью формулы для корней:

$ k = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $, где $ a = 49, b = 8, c = -57 $.

Вычислим дискриминант $ D $:

$ D = 8^2 - 4 \cdot 49 \cdot (-57) = 64 + 196 \cdot 57 = 64 + 11172 = 11236 $

Корень из дискриминанта равен $ \sqrt{11236} = 106 $.

Теперь находим два значения для $ k $:

$ k_1 = \frac{-8 + 106}{2 \cdot 49} = \frac{98}{98} = 1 $

$ k_2 = \frac{-8 - 106}{2 \cdot 49} = \frac{-114}{98} = -\frac{57}{49} $

Шаг 4: Нахождение пар решений (x, y)

Теперь для каждого найденного значения $ k $ мы определим соответствующую пару решений $ (x, y) $.

Случай 1: $ k = 1 $

$ x = 5k = 5 \cdot 1 = 5 $

$ y = 3k = 3 \cdot 1 = 3 $

Таким образом, первая пара решений — $ (5, 3) $.

Случай 2: $ k = -\frac{57}{49} $

$ x = 5k = 5 \cdot \left(-\frac{57}{49}\right) = -\frac{285}{49} $

$ y = 3k = 3 \cdot \left(-\frac{57}{49}\right) = -\frac{171}{49} $

Таким образом, вторая пара решений — $ \left(-\frac{285}{49}, -\frac{171}{49}\right) $.

Обе найденные пары являются решениями исходной системы уравнений.

Ответ: $ (5, 3) $ и $ \left(-\frac{285}{49}, -\frac{171}{49}\right) $.