Номер 216, страница 428 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 216, страница 428.

Условие.

216 $\frac{\log_2 x - 3}{6 \log_x 2 - 1} \le 2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для решения неравенства$$ \frac{\log_2 x - 3}{6\log_x 2 - 1} \le 2 $$сначала определим его область допустимых значений (ОДЗ).

1. Область допустимых значений (ОДЗ)
- Аргументы и основания логарифмов должны быть положительными, а основания не должны быть равны единице: $x > 0$ и $x \neq 1$.
- Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $6\log_x 2 - 1 \neq 0$.
Решим уравнение $6\log_x 2 = 1$:
$\log_x 2 = \frac{1}{6}$
По определению логарифма, это эквивалентно $x^{1/6} = 2$.
Возведя обе части в шестую степень, получаем $x = 2^6 = 64$.
Следовательно, $x \neq 64$.
Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, 64) \cup (64, \infty)$.

2. Преобразование и решение неравенства
Для удобства решения приведём все логарифмы к одному основанию 2, используя формулу перехода $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$:
$\log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x}$.
Введём замену переменной. Пусть $t = \log_2 x$.
Из ОДЗ следует, что $x \neq 1 \implies t \neq \log_2 1 = 0$ и $x \neq 64 \implies t \neq \log_2 64 = 6$.
Подставим $t$ в исходное неравенство:$$ \frac{t - 3}{\frac{6}{t} - 1} \le 2 $$Преобразуем левую часть:$$ \frac{t - 3}{\frac{6-t}{t}} \le 2 \implies \frac{t(t-3)}{6-t} \le 2 $$Перенесём все слагаемые в левую часть и приведём к общему знаменателю:$$ \frac{t(t-3)}{6-t} - 2 \le 0 $$$$ \frac{t^2 - 3t - 2(6-t)}{6-t} \le 0 $$$$ \frac{t^2 - 3t - 12 + 2t}{6-t} \le 0 $$$$ \frac{t^2 - t - 12}{6-t} \le 0 $$Найдём корни числителя, решив квадратное уравнение $t^2 - t - 12 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 4$ и $t_2 = -3$.
Теперь неравенство можно записать как:$$ \frac{(t+3)(t-4)}{6-t} \le 0 $$Для решения методом интервалов удобно, чтобы переменная в каждом множителе была с положительным коэффициентом. Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:$$ \frac{(t+3)(t-4)}{t-6} \ge 0 $$На числовой оси отметим точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль: $t = -3$, $t = 4$, $t = 6$. Точки $t=-3$ и $t=4$ являются решениями (неравенство нестрогое), а точка $t=6$ — нет (знаменатель).
Проверим знаки на интервалах:
- $(6, +\infty)$: $\frac{(+)(+)}{(+)} \ge 0$. Интервал подходит.
- $[4, 6)$: $\frac{(+)(+)}{(-)} \le 0$. Интервал не подходит.
- $[-3, 4]$: $\frac{(-)(+)}{(-)} \ge 0$ (на концах равно 0). Интервал подходит.
- $(-\infty, -3)$: $\frac{(-)(-)}{(-)} \le 0$. Интервал не подходит.
Таким образом, решение для $t$ есть объединение $t \in [-3, 4] \cup (6, \infty)$.

3. Обратная замена и финальный ответ
Выполним обратную замену $t = \log_2 x$.
- Если $t \in [-3, 4]$, то $-3 \le \log_2 x \le 4$. Так как логарифмическая функция с основанием $2 > 1$ является возрастающей, получаем $2^{-3} \le x \le 2^4$, что даёт $\frac{1}{8} \le x \le 16$.
- Если $t \in (6, \infty)$, то $\log_2 x > 6$, откуда $x > 2^6$, то есть $x > 64$.
Объединяя эти два результата, получаем $x \in [\frac{1}{8}, 16] \cup (64, \infty)$.

На последнем шаге необходимо пересечь полученное решение с ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, 64) \cup (64, \infty)$.
- Интервал $[\frac{1}{8}, 16]$ содержит точку $x=1$, которую нужно исключить согласно ОДЗ. Получаем $[\frac{1}{8}, 1) \cup (1, 16]$.
- Интервал $(64, \infty)$ полностью удовлетворяет ОДЗ.
Объединив эти множества, получаем итоговый результат.

Ответ: $x \in [\frac{1}{8}, 1) \cup (1, 16] \cup (64, \infty)$.