Номер 219, страница 428 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 219, страница 428.

Условие.

219 $\log_2 \log_{1/2} \frac{3x+4}{4x+8} \le 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для решения логарифмического неравенства $ \log_2 \left( \log_{\frac{1}{2}} \frac{3x+4}{4x+8} \right) \le 0 $ необходимо выполнить несколько шагов.

1. Упрощение неравенства на основе свойств логарифмов и ОДЗ

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент любого логарифма должен быть строго больше нуля. Это дает систему из двух условий:

1. $ \log_{\frac{1}{2}} \frac{3x+4}{4x+8} > 0 $
2. $ \frac{3x+4}{4x+8} > 0 $

Теперь решим исходное неравенство. Так как основание внешнего логарифма $2 > 1$, функция $y=\log_2(t)$ является возрастающей. При снятии логарифма знак неравенства сохраняется:

$$ \log_{\frac{1}{2}} \frac{3x+4}{4x+8} \le 2^0 \implies \log_{\frac{1}{2}} \frac{3x+4}{4x+8} \le 1 $$

Объединим это неравенство с первым условием ОДЗ. Это позволяет свести задачу к решению одного двойного неравенства, которое уже включает в себя все необходимые ограничения:

$$ 0 < \log_{\frac{1}{2}} \frac{3x+4}{4x+8} \le 1 $$

2. Решение двойного логарифмического неравенства

Основание внутреннего логарифма равно $\frac{1}{2}$, что меньше 1. Следовательно, функция $y=\log_{1/2}(t)$ является убывающей. При потенцировании (избавлении от логарифма) знаки неравенства меняются на противоположные:

$$ \left(\frac{1}{2}\right)^1 \le \frac{3x+4}{4x+8} < \left(\frac{1}{2}\right)^0 $$

Упрощая, получаем двойное рациональное неравенство:

$$ \frac{1}{2} \le \frac{3x+4}{4x+8} < 1 $$

3. Решение системы рациональных неравенств

Это двойное неравенство эквивалентно системе из двух неравенств:

$$ \begin{cases} \frac{3x+4}{4x+8} < 1 \\ \frac{3x+4}{4x+8} \ge \frac{1}{2} \end{cases} $$

Решим первое неравенство:

$$ \frac{3x+4}{4x+8} - 1 < 0 \implies \frac{3x+4 - (4x+8)}{4x+8} < 0 \implies \frac{-x-4}{4(x+2)} < 0 \implies \frac{x+4}{x+2} > 0 $$

Методом интервалов находим, что решение этого неравенства: $x \in (-\infty, -4) \cup (-2, +\infty)$.

Решим второе неравенство:

$$ \frac{3x+4}{4x+8} - \frac{1}{2} \ge 0 \implies \frac{2(3x+4) - (4x+8)}{2(4x+8)} \ge 0 \implies \frac{6x+8 - 4x-8}{8(x+2)} \ge 0 \implies \frac{2x}{8(x+2)} \ge 0 \implies \frac{x}{x+2} \ge 0 $$

Методом интервалов находим, что решение этого неравенства: $x \in (-\infty, -2) \cup [0, +\infty)$.

4. Нахождение пересечения решений

Итоговое решение является пересечением решений двух неравенств системы:

$$ x \in ((-\infty, -4) \cup (-2, +\infty)) \cap ((-\infty, -2) \cup [0, +\infty)) $$

Находя пересечение этих множеств, получаем окончательный результат.

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup [0, +\infty)$.