Номер 229, страница 429 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 229, страница 429.

Условие.

229 a) $\begin{cases} \left( \frac{1}{4} \right)^{-\frac{3x}{2}} + \log_3^3 y = 504 \\ 4^x - 2^{x-1} \log_{\sqrt{3}} y + \log_3^2 y = 84; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \left( \frac{1}{9} \right)^{-\frac{3x}{2}} + \log_2^3 y = 702 \\ 9^x - 3^{x-1} \log_{3\sqrt{2}} y + \log_2^2 y = 117. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{3x}{2}} + \log_3^3 y = 504 \\ 4^x - 2^{x-1} \log_{\sqrt{3}} y + \log_3^2 y = 84 \end{cases} $$ Преобразуем каждое уравнение системы.

Первое уравнение: $$ \left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{3x}{2}} = (4^{-1})^{-\frac{3x}{2}} = 4^{\frac{3x}{2}} = (2^2)^{\frac{3x}{2}} = 2^{3x} = (2^x)^3 $$ Уравнение принимает вид: $$ (2^x)^3 + (\log_3 y)^3 = 504 $$

Второе уравнение: $$ 4^x = (2^x)^2 $$ $$ 2^{x-1} = \frac{2^x}{2} $$ $$ \log_{\sqrt{3}} y = \log_{3^{1/2}} y = \frac{1}{1/2}\log_3 y = 2\log_3 y $$ Подставим преобразованные выражения в уравнение: $$ (2^x)^2 - \frac{2^x}{2} \cdot (2\log_3 y) + (\log_3 y)^2 = 84 $$ $$ (2^x)^2 - 2^x \log_3 y + (\log_3 y)^2 = 84 $$

Введем замену переменных. Пусть $a = 2^x$ и $b = \log_3 y$. Система примет вид: $$ \begin{cases} a^3 + b^3 = 504 \\ a^2 - ab + b^2 = 84 \end{cases} $$ Используем формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$. Подставив в нее известные значения, получим: $$ (a+b) \cdot 84 = 504 $$ $$ a+b = \frac{504}{84} = 6 $$ Теперь мы имеем более простую систему: $$ \begin{cases} a+b = 6 \\ a^2 - ab + b^2 = 84 \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим $a = 6 - b$ и подставим во второе: $$ (6-b)^2 - (6-b)b + b^2 = 84 $$ $$ (36 - 12b + b^2) - (6b - b^2) + b^2 = 84 $$ $$ 3b^2 - 18b + 36 = 84 $$ $$ 3b^2 - 18b - 48 = 0 $$ Разделим уравнение на 3: $$ b^2 - 6b - 16 = 0 $$ По теореме Виета, корни уравнения: $b_1 = 8$ и $b_2 = -2$.

Найдем соответствующие значения $a$:

• Если $b_1 = 8$, то $a_1 = 6 - 8 = -2$.
• Если $b_2 = -2$, то $a_2 = 6 - (-2) = 8$.

Таким образом, мы получили две пары решений $(a;b)$: $(-2; 8)$ и $(8; -2)$.

Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$. Область допустимых значений для $y$ определяется из логарифма: $y > 0$.
Случай 1: $a = -2$, $b = 8$.
$2^x = -2$. Данное уравнение не имеет действительных корней, так как показательная функция $2^x$ всегда положительна.
Случай 2: $a = 8$, $b = -2$.
$2^x = 8 \Rightarrow 2^x = 2^3 \Rightarrow x=3$.
$\log_3 y = -2 \Rightarrow y = 3^{-2} = \frac{1}{9}$.
Значение $y = 1/9$ удовлетворяет условию $y > 0$.

Ответ: $(3; 1/9)$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \left(\frac{1}{9}\right)^{-\frac{3x}{2}} + \log_2^3 y = 702 \\ 9^x - 3^{x-1} \log_{3\sqrt{2}} y + \log_2^2 y = 117 \end{cases} $$ Преобразуем первое уравнение: $$ \left(\frac{1}{9}\right)^{-\frac{3x}{2}} = (9^{-1})^{-\frac{3x}{2}} = 9^{\frac{3x}{2}} = (3^2)^{\frac{3x}{2}} = 3^{3x} = (3^x)^3 $$ Уравнение принимает вид: $$ (3^x)^3 + (\log_2 y)^3 = 702 $$

Введем замену переменных: $a = 3^x$ и $b = \log_2 y$. Первое уравнение в новых переменных: $a^3 + b^3 = 702$. Второе уравнение: $9^x - 3^{x-1} \log_{3\sqrt{2}} y + \log_2^2 y = 117$ или $(3^x)^2 - \frac{3^x}{3} \log_{3\sqrt{2}} y + (\log_2 y)^2 = 117$. В новых переменных: $a^2 - \frac{a}{3} \log_{3\sqrt{2}} y + b^2 = 117$.

Структура этой системы аналогична пункту а). Отношение свободных членов также равно $6$ ($702/117 = 6$). Это позволяет предположить, что во втором уравнении допущена опечатка, и оно должно приводиться к виду $a^2 - ab + b^2 = 117$. Для этого средний член $-3^{x-1} \log_{B} y$ должен быть равен $-ab = -3^x \log_2 y$. Это бы выполнялось, если бы основание логарифма было $B = \sqrt[3]{2}$, а не $3\sqrt{2}$.

Принимая во внимание вероятную опечатку, будем решать скорректированную систему: $$ \begin{cases} a^3 + b^3 = 702 \\ a^2 - ab + b^2 = 117 \end{cases} $$ Используя формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$, получаем: $$ (a+b) \cdot 117 = 702 $$ $$ a+b = \frac{702}{117} = 6 $$ Снова решаем систему: $$ \begin{cases} a+b = 6 \\ a^2 - ab + b^2 = 117 \end{cases} $$ Из первого уравнения $a = 6 - b$. Подставляем во второе: $$ (6-b)^2 - (6-b)b + b^2 = 117 $$ $$ (36 - 12b + b^2) - (6b - b^2) + b^2 = 117 $$ $$ 3b^2 - 18b + 36 = 117 $$ $$ 3b^2 - 18b - 81 = 0 $$ Разделим уравнение на 3: $$ b^2 - 6b - 27 = 0 $$ Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = (-6)^2 - 4(1)(-27) = 36 + 108 = 144 = 12^2$. $b_{1,2} = \frac{6 \pm 12}{2}$. $b_1 = \frac{18}{2} = 9$, $b_2 = \frac{-6}{2} = -3$.

Найдем соответствующие значения $a$:

• Если $b_1 = 9$, то $a_1 = 6 - 9 = -3$.
• Если $b_2 = -3$, то $a_2 = 6 - (-3) = 9$.

Мы получили две пары решений $(a;b)$: $(-3; 9)$ и $(9; -3)$.

Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$. Область допустимых значений: $y > 0$.
Случай 1: $a = -3$, $b = 9$.
$3^x = -3$. Уравнение не имеет действительных корней ($3^x > 0$).
Случай 2: $a = 9$, $b = -3$.
$3^x = 9 \Rightarrow 3^x = 3^2 \Rightarrow x=2$.
$\log_2 y = -3 \Rightarrow y = 2^{-3} = \frac{1}{8}$.
Значение $y = 1/8$ удовлетворяет условию $y > 0$.

Ответ: $(2; 1/8)$.