Номер 231, страница 429 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 231, страница 429.

Условие.

231 a) $\begin{cases} \log_2 \sqrt{y} = -3^{1-x} \\ 3^x + \log_2 y = 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3 \sin x + \cos y = 0 \\ 6 \cos x - 2 \sin y = 7. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \log_2 \sqrt{y} = -3^{1-x} \\ 3^x + \log_2 y = 1 \end{cases} $$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данной системы определяется условием подкоренного и подлогарифмического выражения, что в данном случае сводится к $y > 0$.

Упростим первое уравнение системы, используя свойство логарифма $\log_a b^c = c \log_a b$:

$$ \log_2 y^{1/2} = \frac{1}{2} \log_2 y $$

Таким образом, первое уравнение можно переписать в виде:

$$ \frac{1}{2} \log_2 y = -3^{1-x} $$

Выразим отсюда $\log_2 y$:

$$ \log_2 y = -2 \cdot 3^{1-x} = -2 \cdot \frac{3}{3^x} = -\frac{6}{3^x} $$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение системы:

$$ 3^x + \left(-\frac{6}{3^x}\right) = 1 $$ $$ 3^x - \frac{6}{3^x} = 1 $$

Для решения этого уравнения введем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Поскольку показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Уравнение примет вид:

$$ t - \frac{6}{t} = 1 $$

Умножим обе части на $t$ (это возможно, так как $t \neq 0$):

$$ t^2 - 6 = t $$ $$ t^2 - t - 6 = 0 $$

Это квадратное уравнение, корни которого можно найти, например, по теореме Виета или через дискриминант. Корни уравнения: $t_1 = 3$ и $t_2 = -2$.

Согласно условию замены $t > 0$, корень $t_2 = -2$ является посторонним. Следовательно, единственное решение для $t$ это $t = 3$.

Вернемся к переменной $x$:

$$ 3^x = 3 \implies 3^x = 3^1 \implies x = 1 $$

Найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение для $\log_2 y$:

$$ \log_2 y = -\frac{6}{3^1} = -2 $$

По определению логарифма:

$$ y = 2^{-2} = \frac{1}{4} $$

Полученное значение $y = 1/4$ удовлетворяет ОДЗ ($y>0$).

Таким образом, решение системы: $(1; 1/4)$.

Ответ: $(1; 1/4)$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 3 \sin x + \cos y = 0 \\ 6 \cos x - 2 \sin y = 7 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $\cos y$, а из второго $\sin y$:

$$ \cos y = -3 \sin x $$ $$ 2 \sin y = 6 \cos x - 7 \implies \sin y = 3 \cos x - \frac{7}{2} $$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 y + \cos^2 y = 1$ и подставим в него полученные выражения:

$$ \left(3 \cos x - \frac{7}{2}\right)^2 + (-3 \sin x)^2 = 1 $$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение:

$$ 9\cos^2 x - 2 \cdot 3\cos x \cdot \frac{7}{2} + \frac{49}{4} + 9\sin^2 x = 1 $$ $$ 9\cos^2 x - 21\cos x + \frac{49}{4} + 9\sin^2 x = 1 $$

Сгруппируем слагаемые, используя тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$$ 9(\cos^2 x + \sin^2 x) - 21\cos x + \frac{49}{4} = 1 $$ $$ 9 - 21\cos x + \frac{49}{4} = 1 $$

Решим полученное уравнение относительно $\cos x$:

$$ -21\cos x = 1 - 9 - \frac{49}{4} $$ $$ -21\cos x = -8 - \frac{49}{4} = -\frac{32+49}{4} = -\frac{81}{4} $$ $$ \cos x = \frac{81}{4 \cdot 21} = \frac{27}{28} $$

Теперь, зная $\cos x$, найдем $\sin y$:

$$ \sin y = 3\left(\frac{27}{28}\right) - \frac{7}{2} = \frac{81}{28} - \frac{98}{28} = -\frac{17}{28} $$

Найдем возможные значения для $\sin x$:

$$ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - \left(\frac{27}{28}\right)^2 = \frac{28^2 - 27^2}{28^2} = \frac{(28-27)(28+27)}{784} = \frac{55}{784} $$ $$ \sin x = \pm\frac{\sqrt{55}}{28} $$

Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: $\sin x = \frac{\sqrt{55}}{28}$.

Так как $\cos x = \frac{27}{28} > 0$ и $\sin x > 0$, угол $x$ находится в первой координатной четверти. Решения для $x$:

$$ x = \arccos\left(\frac{27}{28}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$

При этом $\cos y = -3\sin x = -\frac{3\sqrt{55}}{28}$.

Так как $\sin y = -\frac{17}{28} < 0$ и $\cos y < 0$, угол $y$ находится в третьей координатной четверти. Решения для $y$:

$$ y = \pi + \arcsin\left(\frac{17}{28}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$

Случай 2: $\sin x = -\frac{\sqrt{55}}{28}$.

Так как $\cos x = \frac{27}{28} > 0$ и $\sin x < 0$, угол $x$ находится в четвертой координатной четверти. Решения для $x$:

$$ x = -\arccos\left(\frac{27}{28}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$

При этом $\cos y = -3\sin x = -3\left(-\frac{\sqrt{55}}{28}\right) = \frac{3\sqrt{55}}{28}$.

Так как $\sin y = -\frac{17}{28} < 0$ и $\cos y > 0$, угол $y$ находится в четвертой координатной четверти. Решения для $y$:

$$ y = -\arcsin\left(\frac{17}{28}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$

Ответ: $\left(\arccos\left(\frac{27}{28}\right) + 2\pi k, \pi + \arcsin\left(\frac{17}{28}\right) + 2\pi n\right)$; $\left(-\arccos\left(\frac{27}{28}\right) + 2\pi k, -\arcsin\left(\frac{17}{28}\right) + 2\pi n\right)$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.