Номер 233, страница 429 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 233, страница 429.

Условие.

233 $\frac{xy}{2} + \frac{5}{2x + y - xy} = 5$

$2x + y + \frac{10}{xy} = 4 + xy.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Данная система уравнений: $ \begin{cases} \frac{xy}{2} + \frac{5}{2x + y - xy} = 5 \\ 2x + y + \frac{10}{xy} = 4 + xy \end{cases} $

Для решения этой системы введем замену переменных, чтобы упростить уравнения. Пусть $a = xy$ и $b = 2x + y$. С учетом замены исходная система примет вид: $ \begin{cases} \frac{a}{2} + \frac{5}{b - a} = 5 \\ b + \frac{10}{a} = 4 + a \end{cases} $

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями: $xy \neq 0 \implies a \neq 0$ и $2x + y - xy \neq 0 \implies b - a \neq 0$.

Решим полученную систему относительно $a$ и $b$. Выразим $b$ из второго уравнения: $b = a + 4 - \frac{10}{a}$.

Подставим это выражение для $b$ в первое уравнение системы: $\frac{a}{2} + \frac{5}{(a + 4 - \frac{10}{a}) - a} = 5$.

Упростим знаменатель дроби в левой части: $\frac{a}{2} + \frac{5}{4 - \frac{10}{a}} = 5$, что равносильно $\frac{a}{2} + \frac{5}{\frac{4a - 10}{a}} = 5$, или $\frac{a}{2} + \frac{5a}{4a - 10} = 5$.

Теперь решим это уравнение относительно $a$. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $2(4a - 10) = 4(2a - 5)$, при условии что $a \neq \frac{5}{2}$: $a(2a - 5) + 5a = 10(2a - 5)$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $2a^2 - 5a + 5a = 20a - 50$ $2a^2 = 20a - 50$ $2a^2 - 20a + 50 = 0$.

Разделим обе части на 2: $a^2 - 10a + 25 = 0$.

Это уравнение является полным квадратом: $(a - 5)^2 = 0$. Отсюда находим единственное значение $a$: $a = 5$.

Найденное значение $a=5$ удовлетворяет ОДЗ ($a \neq 0$ и $a \neq \frac{5}{2}$). Теперь найдем значение $b$, используя ранее полученное выражение: $b = a + 4 - \frac{10}{a} = 5 + 4 - \frac{10}{5} = 9 - 2 = 7$.

Проверим условие $b - a \neq 0$: $7 - 5 = 2 \neq 0$. Условие выполняется.

Итак, мы нашли значения для наших вспомогательных переменных: $a=5$ и $b=7$. Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$, решив систему: $ \begin{cases} xy = 5 \\ 2x + y = 7 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y$: $y = 7 - 2x$. Подставим это выражение в первое уравнение: $x(7 - 2x) = 5$.

Раскроем скобки и преобразуем уравнение: $7x - 2x^2 = 5$ $2x^2 - 7x + 5 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{7 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$. $x_2 = \frac{7 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 3}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня $x$, используя формулу $y = 7 - 2x$.

Для $x_1 = 1$, получаем $y_1 = 7 - 2(1) = 7 - 2 = 5$. Первая пара решений: $(1; 5)$.

Для $x_2 = \frac{5}{2}$, получаем $y_2 = 7 - 2(\frac{5}{2}) = 7 - 5 = 2$. Вторая пара решений: $(\frac{5}{2}; 2)$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(1; 5)$, $(\frac{5}{2}; 2)$.