Номер 240, страница 430 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 240, страница 430.

Условие.

240 Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение:

a) $2|x + 1| - 2|x - 2| + |x - 6| = x + 3a$ имеет ровно один корень;

б) $2|x + 3| - 2|x - 2| + |x - 4| = x + 2a$ имеет ровно два корня;

в) $|x^2 - 8x - a| = 4x$ имеет ровно один корень, меньший 1, и хотя бы один корень, больший 11,5;

г) $|x^2 - 4x + a| = x$ имеет ровно один корень, меньший 1, и хотя бы один корень, больший 4.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Рассмотрим уравнение $2|x+1| - 2|x-2| + |x-6| = x + 3a$.

Перепишем его в виде $f(x) = g(x)$, где $f(x) = 2|x+1| - 2|x-2| + |x-6|$ и $g(x) = x + 3a$. Число корней уравнения равно числу точек пересечения графиков функций $y=f(x)$ и $y=g(x)$.

Функция $f(x)$ является кусочно-линейной. Раскроем модули, рассмотрев четыре промежутка, определяемых точками $x=-1$, $x=2$, $x=6$.

1. При $x < -1$: $f(x) = -2(x+1) + 2(x-2) - (x-6) = -2x-2+2x-4-x+6 = -x$.
2. При $-1 \le x < 2$: $f(x) = 2(x+1) + 2(x-2) - (x-6) = 2x+2+2x-4-x+6 = 3x+4$.
3. При $2 \le x < 6$: $f(x) = 2(x+1) - 2(x-2) - (x-6) = 2x+2-2x+4-x+6 = -x+12$.
4. При $x \ge 6$: $f(x) = 2(x+1) - 2(x-2) + (x-6) = 2x+2-2x+4+x-6 = x$.

Таким образом, $f(x) = \begin{cases} -x, & x < -1 \\ 3x+4, & -1 \le x < 2 \\ -x+12, & 2 \le x < 6 \\ x, & x \ge 6 \end{cases}$.

График функции $y=f(x)$ представляет собой ломаную с вершинами в точках $(-1, 1)$, $(2, 10)$, $(6, 6)$.

График функции $y=g(x) = x+3a$ — это семейство прямых с угловым коэффициентом $k=1$. Параметр $3a$ отвечает за сдвиг прямой по оси $y$.

При $x \ge 6$ функция $f(x)=x$ имеет угловой коэффициент 1, такой же, как у прямой $y=x+3a$. Следовательно, при $3a=0$ (т.е. $a=0$) прямая $y=x$ совпадает с лучом графика $f(x)$ на промежутке $[6, \infty)$, что дает бесконечное число корней. При $a \ne 0$ прямая $y=x+3a$ параллельна этому лучу и не пересекает его.

Таким образом, для $a \ne 0$ корни могут существовать только при $x<6$. Нам нужно найти такие $a$, при которых прямая $y=x+3a$ пересекает ломаную $y=f(x)$ на интервале $(-\infty, 6)$ ровно в одной точке.

Рассмотрим граничные положения прямой $y=x+C$ (где $C=3a$), когда она проходит через вершины ломаной:

• Прямая проходит через точку $(-1, 1)$: $1 = -1 + C \Rightarrow C=2$. Уравнение прямой $y=x+2$. Это соответствует $3a=2 \Rightarrow a=2/3$. Найдем точки пересечения:
  • $3x+4 = x+2 \Rightarrow 2x=-2 \Rightarrow x=-1$.
  • $-x+12 = x+2 \Rightarrow 2x=10 \Rightarrow x=5$.
  При $a=2/3$ имеем два корня: $x=-1$ и $x=5$.
• Прямая проходит через точку $(2, 10)$: $10 = 2 + C \Rightarrow C=8$. Уравнение прямой $y=x+8$. Это соответствует $3a=8 \Rightarrow a=8/3$. Найдем точки пересечения:
  • $-x = x+8 \Rightarrow 2x=-8 \Rightarrow x=-4$.
  • $3x+4 = x+8 \Rightarrow 2x=4 \Rightarrow x=2$.
  При $a=8/3$ имеем два корня: $x=-4$ и $x=2$.

Проанализируем количество корней в зависимости от значения $C=3a$:

• Если $C > 8$ (т.е. $a > 8/3$), прямая $y=x+C$ находится выше прямой $y=x+8$. Она пересекает только луч $y=-x$ (при $x<-1$), так как $-x=x+C \Rightarrow x=-C/2 < -4$. Это дает один корень.
• Если $2 < C < 8$ (т.е. $2/3 < a < 8/3$), прямая пересекает все три участка ломаной на $(-\infty, 6)$, что дает три корня.
• Если $0 < C < 2$ (т.е. $0 < a < 2/3$), прямая пересекает только участок $y=-x+12$ (при $2 \le x < 6$), так как $-x+12=x+C \Rightarrow x=(12-C)/2$, что дает $5 < x < 6$. Это дает один корень.
• Если $C < 0$ (т.е. $a < 0$), пересечений нет.

Следовательно, уравнение имеет ровно один корень при $a \in (0, 2/3) \cup (8/3, \infty)$.

Ответ: $a \in (0, 2/3) \cup (8/3, \infty)$.

б)

Перенесем $x$ в левую часть и рассмотрим функцию $h(x) = 2|x+3| - 2|x-2| + |x-4| - x$. Уравнение примет вид $h(x) = 2a$. Нам нужно найти, при каких $a$ горизонтальная прямая $y=2a$ пересекает график $y=h(x)$ ровно в двух точках.

Раскроем модули в выражении для $h(x)$ на промежутках, определяемых точками $x=-3, x=2, x=4$.

1. При $x < -3$: $h(x) = -2(x+3) + 2(x-2) - (x-4) - x = -2x-6+2x-4-x+4-x = -2x-6$.
2. При $-3 \le x < 2$: $h(x) = 2(x+3) + 2(x-2) - (x-4) - x = 2x+6+2x-4-x+4-x = 2x+6$.
3. При $2 \le x < 4$: $h(x) = 2(x+3) - 2(x-2) - (x-4) - x = 2x+6-2x+4-x+4-x = -2x+14$.
4. При $x \ge 4$: $h(x) = 2(x+3) - 2(x-2) + (x-4) - x = 2x+6-2x+4+x-4-x = 6$.

Итак, $h(x) = \begin{cases} -2x-6, & x < -3 \\ 2x+6, & -3 \le x < 2 \\ -2x+14, & 2 \le x < 4 \\ 6, & x \ge 4 \end{cases}$.

Построим эскиз графика функции $y=h(x)$.

• На $(-\infty, -3)$ функция убывает от $+\infty$ до $h(-3)=0$.
• На $[-3, 2)$ функция возрастает от $h(-3)=0$ до $h(2)=10$.
• На $[2, 4)$ функция убывает от $h(2)=10$ до $h(4)=6$.
• На $[4, \infty)$ функция постоянна и равна 6.

График имеет локальный минимум в точке $(-3, 0)$ и локальный максимум в точке $(2, 10)$.

Проанализируем количество решений уравнения $h(x)=2a$ в зависимости от значения $2a$.

• Если $2a > 10$, прямая $y=2a$ пересекает убывающий участок на $(-\infty, -3)$ один раз. Один корень.
• Если $2a = 10$, прямая касается графика в точке максимума $x=2$ и пересекает убывающий участок на $(-\infty, -3)$ в точке $x=-8$. Два корня.
• Если $6 < 2a < 10$, прямая пересекает график в трех точках. Три корня.
• Если $2a = 6$, прямая пересекает график в точке $x=0$ и на всем луче $[4, \infty)$. Бесконечно много корней.
• Если $0 < 2a < 6$, прямая пересекает убывающий участок на $(-\infty, -3)$ и возрастающий на $[-3, 2)$. Два корня.
• Если $2a = 0$, прямая касается графика в точке минимума $x=-3$. Один корень.
• Если $2a < 0$, пересечений нет. Нет корней.

Уравнение имеет ровно два корня в двух случаях:

1. $2a = 10 \Rightarrow a=5$.
2. $0 < 2a < 6 \Rightarrow 0 < a < 3$.

Объединяя эти случаи, получаем искомые значения $a$.

Ответ: $a \in (0, 3) \cup \{5\}$.

в)

Уравнение $|x^2 - 8x - a| = 4x$ равносильно системе:

$\begin{cases} 4x \ge 0 \\ [ \begin{array}{l} x^2 - 8x - a = 4x \\ x^2 - 8x - a = -4x \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \ge 0 \\ [ \begin{array}{l} a = x^2 - 12x \\ a = x^2 - 4x \end{array} \end{cases}$

Задача сводится к нахождению таких значений $a$, при которых горизонтальная прямая $y=a$ пересекает совокупность графиков функций $f_1(x) = x^2 - 12x$ и $f_2(x) = x^2 - 4x$ (при $x \ge 0$) таким образом, что выполняется условие: ровно одна точка пересечения с абсциссой $x \in [0, 1)$ и хотя бы одна точка пересечения с абсциссой $x \in (11,5, \infty)$.

Рассмотрим поведение функций на заданных интервалах.

На интервале $x \in [0, 1)$:

• $f_1(x) = x^2-12x$: $f_1(0)=0, f_1(1)=-11$. На $[0,1)$ функция убывает, ее значения лежат в промежутке $(-11, 0]$.
• $f_2(x) = x^2-4x$: $f_2(0)=0, f_2(1)=-3$. На $[0,1)$ функция убывает, ее значения лежат в промежутке $(-3, 0]$.

Условие 1: ровно один корень в $[0, 1)$.

• При $a=0$ прямая $y=0$ пересекает оба графика в точке $x=0$. Это один корень в $[0,1)$.
• При $-3 < a < 0$ прямая $y=a$ пересекает оба графика на $(0,1)$. Два корня.
• При $a=-3$ прямая $y=-3$ пересекает график $f_2(x)$ в точке $x=1$ (не входит в $[0,1)$) и пересекает график $f_1(x)$ в одной точке на $(0,1)$. Один корень.
• При $-11 < a < -3$ прямая $y=a$ пересекает только график $f_1(x)$ на $(0,1)$. Один корень.
• При $a \le -11$ или $a>0$ корней в $[0,1)$ нет.

Таким образом, первое условие выполняется при $a \in (-11, -3] \cup \{0\}$.

На интервале $x \in (11,5, \infty)$:

• $f_1(x) = x^2-12x$: $f_1(11,5) = 11,5^2 - 12 \cdot 11,5 = -5,75$. Вершина параболы в $x=6$, так что на $(11,5, \infty)$ функция возрастает. Значения лежат в $(-5,75, \infty)$.
• $f_2(x) = x^2-4x$: $f_2(11,5) = 11,5^2 - 4 \cdot 11,5 = 86,25$. Вершина в $x=2$, на $(11,5, \infty)$ функция возрастает. Значения лежат в $(86,25, \infty)$.

Условие 2: хотя бы один корень в $(11,5, \infty)$.

Объединение множеств значений $f_1(x)$ и $f_2(x)$ на $(11,5, \infty)$ есть $(-5,75, \infty)$. Прямая $y=a$ должна пересекать это множество, т.е. $a > -5,75$.

Итоговый результат.

Нам нужно найти пересечение множеств, удовлетворяющих обоим условиям:

$a \in ((-11, -3] \cup \{0\}) \cap (-5,75, \infty) = (-5,75, -3] \cup \{0\}$.

Ответ: $a \in (-5,75; -3] \cup \{0\}$.

г)

Уравнение $|x^2 - 4x + a| = x$ равносильно системе:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ [ \begin{array}{l} x^2 - 4x + a = x \\ x^2 - 4x + a = -x \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \ge 0 \\ [ \begin{array}{l} a = -x^2 + 5x \\ a = -x^2 + 3x \end{array} \end{cases}$

Решим задачу графически. Ищем значения $a$, при которых прямая $y=a$ пересекает графики парабол $f_1(x) = -x^2 + 5x$ и $f_2(x) = -x^2 + 3x$ (при $x \ge 0$) так, что есть ровно один корень в $[0, 1)$ и хотя бы один корень в $(4, \infty)$.

Рассмотрим поведение функций на заданных интервалах.

На интервале $x \in [0, 1)$:

• $f_1(x) = -x^2+5x$: $f_1(0)=0, f_1(1)=4$. На $[0,1)$ функция возрастает, ее значения лежат в $[0, 4)$.
• $f_2(x) = -x^2+3x$: $f_2(0)=0, f_2(1)=2$. На $[0,1)$ функция возрастает, ее значения лежат в $[0, 2)$.

Условие 1: ровно один корень в $[0, 1)$.

• При $a=0$: один корень $x=0$.
• При $0 < a < 2$: прямая $y=a$ пересекает оба графика. Два корня.
• При $a=2$: прямая $y=2$ пересекает график $f_2(x)$ в точке $x=1$ (не входит в $[0,1)$) и пересекает $f_1(x)$ в одной точке на $(0,1)$, т.к. $f_1(x)=2 \Rightarrow x=(5-\sqrt{17})/2 \in (0,1)$. Один корень.
• При $2 < a < 4$: прямая $y=a$ пересекает только график $f_1(x)$. Один корень.
• При $a \ge 4$: корней в $[0,1)$ нет.

Таким образом, первое условие выполняется при $a \in [2, 4) \cup \{0\}$.

На интервале $x \in (4, \infty)$:

• $f_1(x) = -x^2+5x$: $f_1(4)=4$. Вершина в $x=2,5$, на $(4, \infty)$ функция убывает. Значения лежат в $(-\infty, 4)$.
• $f_2(x) = -x^2+3x$: $f_2(4)=-4$. Вершина в $x=1,5$, на $(4, \infty)$ функция убывает. Значения лежат в $(-\infty, -4)$.

Условие 2: хотя бы один корень в $(4, \infty)$.

Объединение множеств значений $f_1(x)$ и $f_2(x)$ на $(4, \infty)$ есть $(-\infty, 4)$. Прямая $y=a$ должна пересекать это множество, т.е. $a < 4$.

Итоговый результат.

Нам нужно найти пересечение множеств, удовлетворяющих обоим условиям:

$a \in ([2, 4) \cup \{0\}) \cap (-\infty, 4)$.

Поскольку множество $[2, 4) \cup \{0\}$ полностью содержится во множестве $(-\infty, 4)$, их пересечение равно $[2, 4) \cup \{0\}$.

Ответ: $a \in \{0\} \cup [2, 4)$.