Номер 244, страница 430 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 244, страница 430.

Условие.

244 Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $x - 1 = \sqrt{(1 - a)x - 1 + 3a + 2a^2}$ на промежутке $(-\infty; 5]$ имеет только одно решение.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Исходное уравнение: $x - 1 = \sqrt{(1 - a)x - 1 + 3a + 2a^2}$. Требуется найти все значения параметра $a$, при которых это уравнение имеет ровно одно решение на промежутке $(-\infty; 5]$.

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ).

Во-первых, выражение под корнем должно быть неотрицательным: $(1 - a)x - 1 + 3a + 2a^2 \ge 0$.

Во-вторых, правая часть уравнения (арифметический квадратный корень) неотрицательна, следовательно, левая часть также должна быть неотрицательной: $x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$.

По условию задачи, решения ищутся на промежутке $x \in (-\infty; 5]$.

Объединяя условия $x \ge 1$ и $x \le 5$, получаем, что решения уравнения должны принадлежать отрезку $[1; 5]$.

2. Преобразуем и решим уравнение.

При условии $x \ge 1$ можно возвести обе части уравнения в квадрат: $(x - 1)^2 = (1 - a)x - 1 + 3a + 2a^2$ $x^2 - 2x + 1 = (1 - a)x - 1 + 3a + 2a^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно $x$: $x^2 - 2x - (1 - a)x + 1 + 1 - 3a - 2a^2 = 0$ $x^2 + (-2 - 1 + a)x + (2 - 3a - 2a^2) = 0$ $x^2 + (a - 3)x - (2a^2 + 3a - 2) = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = (a - 3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(2a^2 + 3a - 2))$ $D = a^2 - 6a + 9 + 8a^2 + 12a - 8$ $D = 9a^2 + 6a + 1 = (3a + 1)^2$

Дискриминант является полным квадратом, $D \ge 0$ при любых значениях $a$. Найдем корни уравнения: $x = \frac{-(a - 3) \pm \sqrt{(3a + 1)^2}}{2} = \frac{3 - a \pm (3a + 1)}{2}$

Получаем два корня: $x_1 = \frac{3 - a + (3a + 1)}{2} = \frac{2a + 4}{2} = a + 2$ $x_2 = \frac{3 - a - (3a + 1)}{2} = \frac{2 - 4a}{2} = 1 - 2a$

3. Проанализируем полученные корни.

Мы ищем решения, принадлежащие отрезку $[1; 5]$. Проверим, при каких значениях параметра $a$ каждый из корней попадает в этот отрезок.

Для корня $x_1 = a + 2$: $1 \le a + 2 \le 5$ Вычитая 2 из всех частей неравенства, получаем: $-1 \le a \le 3$ Таким образом, $x_1$ является решением исходного уравнения на заданном промежутке при $a \in [-1; 3]$.

Для корня $x_2 = 1 - 2a$: $1 \le 1 - 2a \le 5$ Вычитая 1 из всех частей неравенства: $0 \le -2a \le 4$ Делим на -2 и меняем знаки неравенства: $0 \ge a \ge -2$ То есть, $-2 \le a \le 0$. Таким образом, $x_2$ является решением исходного уравнения на заданном промежутке при $a \in [-2; 0]$.

4. Определим значения параметра $a$, при которых уравнение имеет единственное решение.

Уравнение имеет ровно одно решение в следующих случаях: 1) Только один из двух корней, $x_1$ или $x_2$, принадлежит отрезку $[1; 5]$. 2) Корни $x_1$ и $x_2$ совпадают, и это общее значение принадлежит отрезку $[1; 5]$.

Случай 1: Только один корень подходит. Это происходит, когда значение $a$ принадлежит одному из интервалов $[-1; 3]$ или $[-2; 0]$, но не их пересечению. - $x_1$ является решением, а $x_2$ — нет: $a \in [-1; 3]$ и $a \notin [-2; 0]$. Это соответствует $a \in (0; 3]$. - $x_2$ является решением, а $x_1$ — нет: $a \in [-2; 0]$ и $a \notin [-1; 3]$. Это соответствует $a \in [-2; -1)$. Объединяя эти два подслучая, получаем $a \in [-2; -1) \cup (0; 3]$.

Случай 2: Корни совпадают. Найдем, при каком $a$ корни равны: $x_1 = x_2 \implies a + 2 = 1 - 2a \implies 3a = -1 \implies a = -1/3$. При $a = -1/3$ оба выражения для корней дают одно и то же значение: $x = -1/3 + 2 = 5/3$. Проверим, принадлежит ли этот корень отрезку $[1; 5]$: $1 \le 5/3 \le 5$. Неравенство верное. Значит, при $a = -1/3$ уравнение имеет ровно одно решение $x=5/3$. Заметим, что значение $a = -1/3$ входит в пересечение интервалов $[-1; 3]$ и $[-2; 0]$, где мы ожидали два различных корня. Но так как корни совпали, решение одно.

Итог. Объединим все найденные значения параметра $a$: $a \in [-2; -1) \cup (0; 3] \cup \{-1/3\}$. Запишем в порядке возрастания: $a \in [-2; -1) \cup \{-1/3\} \cup (0; 3]$.

Ответ: $a \in [-2; -1) \cup \{-1/3\} \cup (0; 3]$.