Номер 251, страница 431 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 251, страница 431.

Условие.

251 При каких значениях параметра $a$ имеет единственное решение уравнение $|2x + 6| + |2x - 8| = ax + 12$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для решения данного уравнения с параметром воспользуемся графическим методом. Перепишем уравнение в виде равенства двух функций:

$f(x) = g(x)$, где $f(x) = |2x + 6| + |2x - 8|$ и $g(x) = ax + 12$.

Количество решений исходного уравнения равно количеству точек пересечения графиков функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$. Нам нужно найти такие значения параметра $a$, при которых графики имеют ровно одну общую точку.

1. Построение графика функции $y = f(x) = |2x + 6| + |2x - 8|$

Для раскрытия модулей найдем нули подмодульных выражений:

$2x + 6 = 0 \implies x = -3$

$2x - 8 = 0 \implies x = 4$

Эти точки делят числовую ось на три промежутка. Раскроем модули на каждом из них:

• При $x < -3$: оба подмодульных выражения отрицательны.
  $f(x) = -(2x + 6) - (2x - 8) = -2x - 6 - 2x + 8 = -4x + 2$.
• При $-3 \le x \le 4$: первое выражение неотрицательно, второе — отрицательно.
  $f(x) = (2x + 6) - (2x - 8) = 2x + 6 - 2x + 8 = 14$.
• При $x > 4$: оба подмодульных выражения положительны.
  $f(x) = (2x + 6) + (2x - 8) = 2x + 6 + 2x - 8 = 4x - 2$.

Таким образом, функция $f(x)$ задается кусочно-линейно:

$f(x) = \begin{cases} -4x + 2, & \text{если } x < -3 \\ 14, & \text{если } -3 \le x \le 4 \\ 4x - 2, & \text{если } x > 4 \end{cases}$

График функции $f(x)$ состоит из двух лучей и горизонтального отрезка. "Угловые" точки графика (вершины) находятся при $x=-3$ и $x=4$:

$f(-3) = -4(-3) + 2 = 14$. Вершина $A(-3, 14)$.

$f(4) = 4(4) - 2 = 14$. Вершина $B(4, 14)$.

2. Анализ графика функции $y = g(x) = ax + 12$

График функции $g(x)$ — это прямая с угловым коэффициентом (наклоном) $a$. При любом значении $a$ эта прямая проходит через точку $(0, 12)$, так как $g(0) = a \cdot 0 + 12 = 12$. Обозначим эту точку $P(0, 12)$.

Таким образом, задача сводится к нахождению таких угловых коэффициентов $a$, при которых прямая, вращающаяся вокруг точки $P(0, 12)$, пересекает график функции $f(x)$ ровно в одной точке.

3. Графический анализ пересечений

Точка $P(0, 12)$ лежит ниже горизонтального участка графика $f(x)$ (который находится на высоте $y=14$).

Рассмотрим "граничные" положения прямой $y = ax+12$:

• Прямая проходит через вершину $A(-3, 14)$.
  Подставим координаты точки $A$ в уравнение прямой: $14 = a(-3) + 12 \implies 2 = -3a \implies a = -2/3$. При таком $a$ прямая имеет ровно одну общую точку с графиком $f(x)$ — точку $A$.
• Прямая проходит через вершину $B(4, 14)$.
  Подставим координаты точки $B$: $14 = a(4) + 12 \implies 2 = 4a \implies a = 1/2$. При таком $a$ прямая имеет ровно одну общую точку с графиком $f(x)$ — точку $B$.
• Прямая параллельна левому лучу графика $f(x)$.
  Угловой коэффициент левого луча $(y = -4x+2)$ равен $-4$. Значит, $a = -4$. Прямая $y=-4x+12$ не совпадает с лучом $y=-4x+2$. Она пересечет горизонтальный участок $y=14$ в точке, где $-4x+12=14 \implies -4x=2 \implies x=-1/2$. Так как $-3 \le -1/2 \le 4$, это единственная точка пересечения.
• Прямая параллельна правому лучу графика $f(x)$.
  Угловой коэффициент правого луча $(y = 4x-2)$ равен $4$. Значит, $a = 4$. Прямая $y=4x+12$ не совпадает с лучом $y=4x-2$. Она пересечет горизонтальный участок $y=14$ в точке, где $4x+12=14 \implies 4x=2 \implies x=1/2$. Так как $-3 \le 1/2 \le 4$, это единственная точка пересечения.

Теперь проанализируем количество решений в зависимости от значения $a$, основываясь на этих граничных случаях:

• При $a \in (-\infty, -4)$, прямая имеет больший по модулю отрицательный наклон, чем левый луч. Она пересечет только горизонтальный участок $y=14$. Одно решение.
• При $a = -4$, как мы выяснили, одно решение.
• При $a \in (-4, -2/3)$, прямая пересекает и левый луч, и горизонтальный участок. Два решения.
• При $a = -2/3$, прямая проходит через точку $A$. Одно решение.
• При $a \in (-2/3, 1/2)$, прямая проходит "под" графиком $f(x)$ и не имеет с ним общих точек. Нет решений.
• При $a = 1/2$, прямая проходит через точку $B$. Одно решение.
• При $a \in (1/2, 4)$, прямая пересекает и горизонтальный участок, и правый луч. Два решения.
• При $a = 4$, как мы выяснили, одно решение.
• При $a \in (4, \infty)$, прямая имеет больший наклон, чем правый луч. Она пересечет только горизонтальный участок $y=14$. Одно решение.

Объединяя все случаи, когда уравнение имеет единственное решение, получаем:

$a \in (-\infty, -4] \cup \{-2/3\} \cup \{1/2\} \cup [4, \infty)$.

Ответ: $a \in (-\infty, -4] \cup \{-2/3\} \cup \{1/2\} \cup [4, \infty)$.