Номер 254, страница 431 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 254, страница 431.

Условие.

254 Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

$ \begin{cases} \sin x = \cos(\sqrt{6 - 2a^2x}) \\ \cos x = \left(a - \frac{2}{3}\right) \sin(\sqrt{6 - 2a^2x}) \end{cases} $

имеет ровно одно решение на отрезке $ [0; 2\pi] $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Обозначим $y = \sqrt{6 - 2a^2x}$. Исходная система уравнений примет вид:

$\begin{cases} \sin x = \cos y \\ \cos x = \left(a - \frac{2}{3}\right) \sin y \end{cases}$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием неотрицательности подкоренного выражения: $6 - 2a^2x \ge 0$, что равносильно $a^2x \le 3$. Также по условию $x \in [0; 2\pi]$.

Возведем оба уравнения системы в квадрат и сложим их:

$\sin^2 x + \cos^2 x = \cos^2 y + \left(a - \frac{2}{3}\right)^2 \sin^2 y$

$1 = \cos^2 y + \left(a - \frac{2}{3}\right)^2 \sin^2 y$

Используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2 y = 1 - \sin^2 y$, получим:

$1 = 1 - \sin^2 y + \left(a - \frac{2}{3}\right)^2 \sin^2 y$

$0 = \sin^2 y \left( \left(a - \frac{2}{3}\right)^2 - 1 \right)$

Это уравнение означает, что для любого решения системы должно выполняться хотя бы одно из двух условий: $\sin y = 0$ или $\left(a - \frac{2}{3}\right)^2 - 1 = 0$. Рассмотрим эти случаи.

Случай 1: $\left(a - \frac{2}{3}\right)^2 - 1 = 0$

Это уравнение равносильно $\left(a - \frac{2}{3}\right)^2 = 1$, откуда $a - \frac{2}{3} = 1$ или $a - \frac{2}{3} = -1$.

Получаем два значения для параметра $a$: $a_1 = \frac{5}{3}$ и $a_2 = -\frac{1}{3}$.

Подслучай 1.1: $a = \frac{5}{3}$

При этом значении $a$ система принимает вид:

$\begin{cases} \sin x = \cos y \\ \cos x = \sin y \end{cases}$

где $y = \sqrt{6 - 2\left(\frac{5}{3}\right)^2 x} = \sqrt{6 - \frac{50}{9}x}$.

Эта система равносильна тому, что $\cos x = \cos\left(\frac{\pi}{2} - y\right)$ и $\sin x = \sin\left(\frac{\pi}{2} - y\right)$, что выполняется тогда и только тогда, когда $x = \frac{\pi}{2} - y + 2k\pi$ для некоторого целого $k$.

Отсюда $y = \frac{\pi}{2} - x + 2k\pi$.

Поскольку $y \ge 0$ и $x \in [0; 2\pi]$, возможны только $k \ge 0$.

ОДЗ для $x$: $6 - \frac{50}{9}x \ge 0 \Rightarrow x \le \frac{54}{50} = \frac{27}{25}$. Таким образом, мы ищем решения на отрезке $[0; \frac{27}{25}]$.

Рассмотрим $k=0$: $y = \frac{\pi}{2} - x$. Так как $x \le \frac{27}{25} \approx 1.08$, а $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$, то $y > 0$ на данном отрезке.

Подставляем в выражение для $y$: $\left(\frac{\pi}{2} - x\right)^2 = 6 - \frac{50}{9}x$.

Рассмотрим функции $f(x) = \left(\frac{\pi}{2} - x\right)^2$ и $g(x) = 6 - \frac{50}{9}x$ на отрезке $[0; \frac{27}{25}]$.

При $x=0$: $f(0) = \frac{\pi^2}{4} \approx 2.47$, $g(0) = 6$. Имеем $f(0) < g(0)$.

При $x=\frac{27}{25}$: $f\left(\frac{27}{25}\right) = \left(\frac{\pi}{2} - \frac{27}{25}\right)^2 > 0$, $g\left(\frac{27}{25}\right) = 6 - \frac{50}{9}\cdot\frac{27}{25} = 6 - 6 = 0$. Имеем $f\left(\frac{27}{25}\right) > g\left(\frac{27}{25}\right)$.

Функция $h(x) = f(x) - g(x) = x^2 - \left(\pi - \frac{50}{9}\right)x + \left(\frac{\pi^2}{4}-6\right)$ непрерывна на $[0; \frac{27}{25}]$, причем $h(0)<0$ и $h(\frac{27}{25})>0$. Её производная $h'(x) = 2x - \pi + \frac{50}{9} = 2x + \left(\frac{50}{9} - \pi\right) > 0$ на отрезке $[0; \frac{27}{25}]$, так как $\frac{50}{9} - \pi \approx 5.56 - 3.14 > 0$. Следовательно, функция $h(x)$ строго возрастает, а значит, имеет ровно один корень. Таким образом, при $k=0$ есть ровно одно решение.

Рассмотрим $k \ge 1$: $y = \frac{\pi}{2} - x + 2k\pi$. Левая часть уравнения $(y(x))^2 = g(x)$ возрастает с ростом $k$. Уже при $k=1$, $y = \frac{5\pi}{2} - x$. На отрезке $[0; \frac{27}{25}]$, $y(x) \ge \frac{5\pi}{2} - \frac{27}{25} > \frac{5 \cdot 3}{2} - 1.08 = 6.42$. Тогда $y(x)^2 > 6.42^2 > 41$. А правая часть $g(x) = 6 - \frac{50}{9}x \le 6$. Очевидно, что $y(x)^2 > g(x)$, и решений нет. Тем более решений не будет при $k>1$.

Следовательно, при $a=\frac{5}{3}$ система имеет ровно одно решение.

Подслучай 1.2: $a = -\frac{1}{3}$

При этом значении $a$ система принимает вид:

$\begin{cases} \sin x = \cos y \\ \cos x = -\sin y \end{cases}$

где $y = \sqrt{6 - 2\left(-\frac{1}{3}\right)^2 x} = \sqrt{6 - \frac{2}{9}x}$.

Эта система равносильна $\sin x = \sin\left(\frac{\pi}{2}+y\right)$ и $\cos x = \cos\left(\frac{\pi}{2}+y\right)$, что выполняется тогда и только тогда, когда $x = \frac{\pi}{2} + y + 2k\pi$ для некоторого целого $k$.

Отсюда $y = x - \frac{\pi}{2} - 2k\pi$.

Поскольку $y \ge 0$ и $x \in [0; 2\pi]$, возможны только $k \le 0$.

ОДЗ для $x$: $6 - \frac{2}{9}x \ge 0 \Rightarrow x \le 27$. Это условие выполняется для всех $x \in [0; 2\pi]$.

Рассмотрим $k=0$: $y = x - \frac{\pi}{2}$. Условие $y \ge 0$ требует $x \ge \frac{\pi}{2}$. Ищем решения на отрезке $[\frac{\pi}{2}; 2\pi]$.

Уравнение: $\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^2 = 6 - \frac{2}{9}x$.

Рассмотрим функции $f(x) = \left(x - \frac{\pi}{2}\right)^2$ и $g(x) = 6 - \frac{2}{9}x$ на отрезке $[\frac{\pi}{2}; 2\pi]$.

Функция $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает на этом отрезке.

При $x=\frac{\pi}{2}$: $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$, $g\left(\frac{\pi}{2}\right) = 6 - \frac{\pi}{9} > 0$. Имеем $f < g$.

При $x=2\pi$: $f(2\pi) = \left(\frac{3\pi}{2}\right)^2 = \frac{9\pi^2}{4} \approx 22.2$, $g(2\pi) = 6 - \frac{4\pi}{9} \approx 4.6$. Имеем $f > g$.

Так как $f(x)$ непрерывно возрастает, а $g(x)$ непрерывно убывает на отрезке $[\frac{\pi}{2}; 2\pi]$, и на концах отрезка $f<g$ и $f>g$, существует ровно одно решение.

Рассмотрим $k=-1$: $y = x - \frac{\pi}{2} + 2\pi = x + \frac{3\pi}{2}$. Условие $y \ge 0$ выполнено для всех $x \in [0; 2\pi]$.

Уравнение: $\left(x + \frac{3\pi}{2}\right)^2 = 6 - \frac{2}{9}x$.

На отрезке $[0; 2\pi]$ левая часть $f(x) = \left(x + \frac{3\pi}{2}\right)^2$ возрастает. Ее минимальное значение $f(0) = \frac{9\pi^2}{4} \approx 22.2$. Правая часть $g(x) = 6 - \frac{2}{9}x$ убывает. Ее максимальное значение $g(0)=6$. Так как $f(x) > g(x)$ на всем отрезке, решений нет.

При $k \le -2$ левая часть будет еще больше, и решений также не будет.

Следовательно, при $a=-\frac{1}{3}$ система имеет ровно одно решение.

Случай 2: $\sin y = 0$ и $\left(a - \frac{2}{3}\right)^2 - 1 \neq 0$

Условие $\left(a - \frac{2}{3}\right)^2 - 1 \neq 0$ означает, что $a \neq \frac{5}{3}$ и $a \neq -\frac{1}{3}$.

Если $\sin y = 0$, то $y = k\pi$ для некоторого целого $k \ge 0$.

Исходная система принимает вид:

$\begin{cases} \sin x = \cos(k\pi) = (-1)^k \\ \cos x = 0 \end{cases}$

Из $\cos x = 0$ на отрезке $[0; 2\pi]$ следует $x = \frac{\pi}{2}$ или $x = \frac{3\pi}{2}$.

Подслучай 2.1: $x = \frac{\pi}{2}$

При $x = \frac{\pi}{2}$ имеем $\sin x = 1$. Тогда из первого уравнения системы $(-1)^k = 1$, что возможно только для четных $k$. Пусть $k=2m$, где $m \ge 0$ - целое.

Итак, $y=2m\pi$. Подставляем в определение $y$:

$\sqrt{6 - 2a^2\left(\frac{\pi}{2}\right)} = 2m\pi$

$6 - a^2\pi = 4m^2\pi^2$

$a^2\pi = 6 - 4m^2\pi^2$

$a^2 = \frac{6 - 4m^2\pi^2}{\pi}$

Поскольку $a^2 \ge 0$, требуется $6 - 4m^2\pi^2 \ge 0 \Rightarrow m^2 \le \frac{6}{4\pi^2} = \frac{3}{2\pi^2}$.

Так как $\pi^2 \approx 9.87$, то $2\pi^2 \approx 19.74$, и $\frac{3}{2\pi^2} < 1$. Единственное неотрицательное целое $m$, удовлетворяющее этому условию, это $m=0$.

При $m=0$ получаем $a^2 = \frac{6}{\pi}$. Отсюда $a = \pm\sqrt{\frac{6}{\pi}}$. Эти значения не равны $\frac{5}{3}$ или $-\frac{1}{3}$, поэтому они удовлетворяют условию этого случая.

Подслучай 2.2: $x = \frac{3\pi}{2}$

При $x = \frac{3\pi}{2}$ имеем $\sin x = -1$. Тогда из первого уравнения системы $(-1)^k = -1$, что возможно только для нечетных $k$. Пусть $k=2m+1$, где $m \ge 0$ - целое.

Итак, $y=(2m+1)\pi$. Подставляем в определение $y$:

$\sqrt{6 - 2a^2\left(\frac{3\pi}{2}\right)} = (2m+1)\pi$

$6 - 3a^2\pi = (2m+1)^2\pi^2$

$a^2 = \frac{6 - (2m+1)^2\pi^2}{3\pi}$

Поскольку $a^2 \ge 0$, требуется $6 - (2m+1)^2\pi^2 \ge 0 \Rightarrow (2m+1)^2 \le \frac{6}{\pi^2}$.

Так как $\pi^2 \approx 9.87$, то $\frac{6}{\pi^2} < 1$. Не существует целого $m \ge 0$, удовлетворяющего этому условию.

Таким образом, для $a$, не равных $\frac{5}{3}$ и $-\frac{1}{3}$, единственным возможным решением является $x=\frac{\pi}{2}$, и это решение существует только при $a = \pm\sqrt{\frac{6}{\pi}}$. При этих значениях $a$ система имеет ровно одно решение.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем все искомые значения параметра $a$.

Ответ: $a \in \left\{-\sqrt{\frac{6}{\pi}}, -\frac{1}{3}, \frac{5}{3}, \sqrt{\frac{6}{\pi}}\right\}$.