Номер 260, страница 432 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 260, страница 432.

Условие.

260 Имеются два сосуда, содержащие растворы кислоты разной концентрации. В первом $m$ л раствора, во втором $n$ л раствора. Из каждого сосуда взяли по одинаковому количеству раствора и перелили в другой сосуд, после чего концентрация кислоты в растворах сравнялась. По скольку литров раствора перелили из каждого сосуда? Решите задачу в общем виде. Получите от-вет, если:

a) $m = 20, n = 30;$

б) $m = 10, n = 30.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для решения задачи в общем виде введем следующие обозначения:

• $m$ — начальный объем раствора в первом сосуде (в литрах).
• $n$ — начальный объем раствора во втором сосуде (в литрах).
• $c_1$ и $c_2$ — начальные концентрации кислоты в первом и втором сосудах соответственно (в долях). По условию, $c_1 \ne c_2$.
• $x$ — количество раствора, которое перелили из каждого сосуда (в литрах). Это искомая величина.

Количество чистой кислоты в первом сосуде до переливания: $m \cdot c_1$.

Количество чистой кислоты во втором сосуде до переливания: $n \cdot c_2$.

Из первого сосуда взяли $x$ литров раствора, в которых содержалось $x \cdot c_1$ литров чистой кислоты. Одновременно в него добавили $x$ литров раствора из второго сосуда, в которых содержалось $x \cdot c_2$ литров чистой кислоты.

После обмена объем раствора в первом сосуде остался прежним: $m - x + x = m$ литров. Количество чистой кислоты в нем стало: $m \cdot c_1 - x \cdot c_1 + x \cdot c_2$.

Новая концентрация в первом сосуде: $C_1 = \frac{m \cdot c_1 - x \cdot c_1 + x \cdot c_2}{m}$.

Аналогично для второго сосуда. Из него взяли $x$ литров с $x \cdot c_2$ литрами кислоты и добавили $x$ литров из первого сосуда с $x \cdot c_1$ литрами кислоты.

Объем раствора во втором сосуде также не изменился: $n - x + x = n$ литров. Количество чистой кислоты в нем стало: $n \cdot c_2 - x \cdot c_2 + x \cdot c_1$.

Новая концентрация во втором сосуде: $C_2 = \frac{n \cdot c_2 - x \cdot c_2 + x \cdot c_1}{n}$.

По условию, после переливания концентрации сравнялись, то есть $C_1 = C_2$.

$\frac{m \cdot c_1 - x \cdot c_1 + x \cdot c_2}{m} = \frac{n \cdot c_2 - x \cdot c_2 + x \cdot c_1}{n}$

Решим это уравнение относительно $x$.

$n(m \cdot c_1 - x \cdot c_1 + x \cdot c_2) = m(n \cdot c_2 - x \cdot c_2 + x \cdot c_1)$

$n \cdot m \cdot c_1 - n \cdot x \cdot c_1 + n \cdot x \cdot c_2 = m \cdot n \cdot c_2 - m \cdot x \cdot c_2 + m \cdot x \cdot c_1$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $x$, в левой части уравнения, а остальные — в правой:

$n \cdot x \cdot c_2 + m \cdot x \cdot c_2 - n \cdot x \cdot c_1 - m \cdot x \cdot c_1 = m \cdot n \cdot c_2 - n \cdot m \cdot c_1$

Вынесем $x$ и общие множители за скобки:

$x(c_2(n+m) - c_1(n+m)) = mn(c_2 - c_1)$

$x(n+m)(c_2 - c_1) = mn(c_2 - c_1)$

Так как по условию концентрации были различны, $c_1 \ne c_2$, то $c_2 - c_1 \ne 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $(c_2 - c_1)$:

$x(m+n) = mn$

Отсюда находим искомую величину $x$:

$x = \frac{mn}{m+n}$

Это и есть решение задачи в общем виде. Теперь найдем численные ответы.

а) При $m = 20$ л и $n = 30$ л:

$x = \frac{20 \cdot 30}{20 + 30} = \frac{600}{50} = 12$ л.

Ответ: 12 л.

б) При $m = 10$ л и $n = 30$ л:

$x = \frac{10 \cdot 30}{10 + 30} = \frac{300}{40} = \frac{30}{4} = 7.5$ л.

Ответ: 7,5 л.