Номер 256, страница 431 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 256, страница 431.

Условие.

256 Старинная задача. У торговца имеется два бочонка вина: ёмкостью 40 л, ценою 7 р. за литр, и ёмкостью 10 л, ценою 5 р. за литр. По какому одинаковому количеству вина надо взять из каждого бочонка и перелить в другой бочонок, чтобы цена вина за литр в двух бочонках сравнялась?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ — это одинаковое количество вина в литрах, которое нужно взять из каждого бочонка и перелить в другой.

Исходные данные:

• Первый бочонок: объем 40 л, цена 7 р. за литр. Общая стоимость вина: $40 \text{ л} \times 7 \text{ р./л} = 280 \text{ р.}$
• Второй бочонок: объем 10 л, цена 5 р. за литр. Общая стоимость вина: $10 \text{ л} \times 5 \text{ р./л} = 50 \text{ р.}$

Процесс переливания:

Из первого бочонка забирают $x$ литров вина стоимостью $7x$ р. и добавляют в него $x$ литров вина из второго бочонка стоимостью $5x$ р.

Из второго бочонка забирают $x$ литров вина стоимостью $5x$ р. и добавляют в него $x$ литров вина из первого бочонка стоимостью $7x$ р.

Состояние после переливания:

• Первый бочонок:
  • Объем вина останется прежним: $40 - x + x = 40$ л.
  • Новая общая стоимость вина: $280 - 7x + 5x = 280 - 2x$ р.
  • Новая цена за литр: $P_1 = \frac{280 - 2x}{40}$ р./л.
• Второй бочонок:
  • Объем вина останется прежним: $10 - x + x = 10$ л.
  • Новая общая стоимость вина: $50 - 5x + 7x = 50 + 2x$ р.
  • Новая цена за литр: $P_2 = \frac{50 + 2x}{10}$ р./л.

По условию задачи, цена вина за литр в двух бочонках должна сравняться, то есть $P_1 = P_2$. Составим и решим уравнение:

$\frac{280 - 2x}{40} = \frac{50 + 2x}{10}$

Умножим обе части уравнения на 40, чтобы избавиться от знаменателей:

$280 - 2x = 4 \times (50 + 2x)$

Раскроем скобки:

$280 - 2x = 200 + 8x$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числовые значения — в другую:

$280 - 200 = 8x + 2x$

$80 = 10x$

Найдем $x$:

$x = \frac{80}{10}$

$x = 8$

Таким образом, из каждого бочонка нужно взять по 8 литров вина и перелить в другой. Проверим, будет ли цена одинаковой:

• Цена в первом бочонке: $P_1 = \frac{280 - 2 \times 8}{40} = \frac{280 - 16}{40} = \frac{264}{40} = 6,6$ р./л.
• Цена во втором бочонке: $P_2 = \frac{50 + 2 \times 8}{10} = \frac{50 + 16}{10} = \frac{66}{10} = 6,6$ р./л.

Цены действительно сравнялись.

Ответ: из каждого бочонка надо взять по 8 литров вина и перелить в другой.