Номер 259, страница 432 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 259, страница 432.

Условие.

259 Имеются две бочки бензина разной цены. В одной бочке находится 220 л бензина, а в другой — 180 л. Из каждой бочки берут по одинаковому количеству литров бензина и переливают в другую, после чего цена литра бензина в бочках стала одинаковой. По сколько литров бензина перелили из каждой бочки?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $V_1 = 220$ л — начальный объем бензина в первой бочке.
• $V_2 = 180$ л — начальный объем бензина во второй бочке.
• $P_1$ — начальная цена за литр бензина в первой бочке.
• $P_2$ — начальная цена за литр бензина во второй бочке. По условию, цены разные, то есть $P_1 \neq P_2$.
• $x$ — искомое количество литров бензина, которое перелили из каждой бочки в другую.

После взаимного переливания объемы бензина в бочках не изменятся, так как в каждую бочку долили столько же, сколько из нее взяли. Однако изменится состав смеси в каждой бочке и, как следствие, средняя цена за литр.

В первой бочке после переливания окажется $(220 - x)$ литров бензина по первоначальной цене $P_1$ и $x$ литров бензина из второй бочки по цене $P_2$. Общая стоимость бензина в первой бочке составит $C_1 = (220 - x)P_1 + xP_2$. Общий объем останется $V_1 = 220$ л. Новая цена за литр в первой бочке, $P'_1$, будет равна:
$P'_{1} = \frac{\text{общая стоимость}}{\text{общий объем}} = \frac{(220 - x)P_1 + xP_2}{220}$

Во второй бочке аналогично окажется $(180 - x)$ литров бензина по цене $P_2$ и $x$ литров бензина из первой бочки по цене $P_1$. Общая стоимость бензина во второй бочке составит $C_2 = (180 - x)P_2 + xP_1$. Общий объем останется $V_2 = 180$ л. Новая цена за литр во второй бочке, $P'_2$, будет равна:
$P'_{2} = \frac{(180 - x)P_2 + xP_1}{180}$

По условию задачи, после переливания цены за литр бензина в бочках стали одинаковыми: $P'_{1} = P'_{2}$. Составим и решим уравнение:

$\frac{(220 - x)P_1 + xP_2}{220} = \frac{(180 - x)P_2 + xP_1}{180}$

Преобразуем левую и правую части уравнения, разделив числители почленно на знаменатели:

$\frac{220P_1}{220} + \frac{x(P_2 - P_1)}{220} = \frac{180P_2}{180} + \frac{x(P_1 - P_2)}{180}$
$P_1 + \frac{x(P_2 - P_1)}{220} = P_2 + \frac{x(P_1 - P_2)}{180}$

Сгруппируем члены с ценами ($P_1$, $P_2$) в левой части, а члены с переменной $x$ — в правой. Заметим, что $P_2 - P_1 = -(P_1 - P_2)$.

$P_1 - P_2 = \frac{x(P_1 - P_2)}{180} - \frac{x(P_2 - P_1)}{220}$
$P_1 - P_2 = \frac{x(P_1 - P_2)}{180} + \frac{x(P_1 - P_2)}{220}$

Вынесем общий множитель $(P_1 - P_2)$ в правой части за скобки:

$P_1 - P_2 = (P_1 - P_2) \left( \frac{x}{180} + \frac{x}{220} \right)$

Так как по условию $P_1 \neq P_2$, то разность $(P_1 - P_2)$ не равна нулю. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $(P_1 - P_2)$:
$1 = \frac{x}{180} + \frac{x}{220}$

Осталось решить это простое уравнение относительно $x$. Вынесем $x$ за скобки:

$1 = x \left( \frac{1}{180} + \frac{1}{220} \right)$
Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $180 \cdot 220 = 39600$:
$1 = x \left( \frac{220 + 180}{180 \cdot 220} \right)$
$1 = x \left( \frac{400}{39600} \right)$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{39600}{400} = \frac{396}{4} = 99$

Следовательно, из каждой бочки перелили по 99 литров бензина.
Ответ: 99 литров.