Страница 432 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

257 Решите предыдущую задачу, если известно, что цены вина за литр различны, но неизвестны.

Данная задача является уточнением к предыдущей задаче (№256), условия которой следующие: в погребе имеется 15 бутылок вина одного сорта и 10 бутылок другого. Из них случайно выбирают 6 бутылок. Новое условие, что «цены вина за литр различны, но неизвестны», не меняет постановку и решение задачи. Это связано с тем, что выбор бутылок является случайным и не зависит от их цены. Вероятности событий определяются количеством возможных комбинаций выбора, а не стоимостными характеристиками. Тот факт, что цены различны, лишь подтверждает, что мы имеем дело с двумя разными категориями объектов (сортами вина). Поскольку цены неизвестны, их нельзя использовать в расчетах. Таким образом, задача решается с помощью классического определения вероятности и формул комбинаторики.

Обозначим исходные данные:

• $N_1 = 15$ – количество бутылок вина первого сорта.
• $N_2 = 10$ – количество бутылок вина второго сорта.
• $N = N_1 + N_2 = 25$ – общее количество бутылок.
• $k = 6$ – количество бутылок, которые нужно выбрать.

Общее число исходов – это количество способов выбрать 6 бутылок из 25 имеющихся. Оно равно числу сочетаний из 25 по 6: $C_{25}^6 = \frac{25!}{6!(25-6)!} = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 177100$. Это общее число всех возможных элементарных исходов.

а) поровну бутылок того и другого сорта
Для того чтобы бутылок было поровну, необходимо выбрать 3 бутылки первого сорта и 3 бутылки второго. Число способов выбрать 3 бутылки из 15 бутылок первого сорта: $C_{15}^3 = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 455$. Число способов выбрать 3 бутылки из 10 бутылок второго сорта: $C_{10}^3 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120$. Общее число благоприятных исходов для этого события (согласно правилу произведения в комбинаторике): $m_a = C_{15}^3 \cdot C_{10}^3 = 455 \cdot 120 = 54600$. Вероятность данного события: $P(a) = \frac{m_a}{C_{25}^6} = \frac{54600}{177100} = \frac{546}{1771} = \frac{78}{253}$.
Ответ: $\frac{78}{253}$.

б) бутылок первого сорта будет вдвое больше, чем второго
Пусть $k_1$ – количество выбранных бутылок первого сорта, а $k_2$ – второго. По условию, $k_1 + k_2 = 6$ и $k_1 = 2k_2$. Решая эту систему уравнений, получаем $2k_2 + k_2 = 6 \Rightarrow 3k_2 = 6 \Rightarrow k_2=2$, и тогда $k_1=4$. Следовательно, нужно выбрать 4 бутылки первого сорта и 2 бутылки второго. Число способов выбрать 4 бутылки из 15: $C_{15}^4 = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 1365$. Число способов выбрать 2 бутылки из 10: $C_{10}^2 = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45$. Общее число благоприятных исходов: $m_b = C_{15}^4 \cdot C_{10}^2 = 1365 \cdot 45 = 61425$. Вероятность данного события: $P(b) = \frac{m_b}{C_{25}^6} = \frac{61425}{177100} = \frac{2457}{7084} = \frac{351}{1012}$.
Ответ: $\frac{351}{1012}$.

в) по крайней мере одна бутылка каждого сорта
Это событие является противоположным событию «все 6 выбранных бутылок одного сорта». Проще найти вероятность противоположного события, а затем вычесть ее из единицы. Противоположное событие наступает в двух случаях: 1. Все 6 бутылок — первого сорта. Число способов: $C_{15}^6 = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 5005$. 2. Все 6 бутылок — второго сорта. Число способов: $C_{10}^6 = C_{10}^4 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210$. Общее число исходов, благоприятствующих противоположному событию: $m_{\bar{c}} = C_{15}^6 + C_{10}^6 = 5005 + 210 = 5215$. Вероятность противоположного события: $P(\bar{c}) = \frac{m_{\bar{c}}}{C_{25}^6} = \frac{5215}{177100} = \frac{1043}{35420} = \frac{149}{5060}$. Искомая вероятность события «по крайней мере одна бутылка каждого сорта» равна: $P(c) = 1 - P(\bar{c}) = 1 - \frac{149}{5060} = \frac{5060 - 149}{5060} = \frac{4911}{5060}$.
Ответ: $\frac{4911}{5060}$.

258 У торговца имеется два бочонка вина разной цены за литр ёмкостью $m$ л и $n$ л. По какому одинаковому количеству вина надо взять из каждого бочонка и перелить в другой бочонок, чтобы цена вина за литр в двух бочонках сравнялась?

Пусть $m$ и $n$ — объемы вина (в литрах) в первом и втором бочонках соответственно, а $c_1$ и $c_2$ — цены за литр вина в каждом из бочонков ($c_1 \neq c_2$). Предполагается, что бочонки изначально полны.

Обозначим через $x$ искомое одинаковое количество вина, которое нужно взять из каждого бочонка и перелить в другой. При этом $x$ не может превышать объемы вина в бочонках, то есть $0 < x \le m$ и $0 < x \le n$.

Рассмотрим состав и цену вина в первом бочонке после переливания. Из него взяли $x$ литров вина по цене $c_1$ и добавили $x$ литров вина по цене $c_2$. Таким образом, в первом бочонке стало $(m-x)$ литров вина по цене $c_1$ и $x$ литров вина по цене $c_2$. Общая стоимость вина в первом бочонке составит $(m-x)c_1 + xc_2$. Общий объем вина в бочонке не изменился и равен $m$ литров. Следовательно, новая цена за литр вина в первом бочонке будет равна: $C_{новая1} = \frac{(m-x)c_1 + xc_2}{m}$

Теперь рассмотрим состав и цену вина во втором бочонке после переливания. Из него взяли $x$ литров вина по цене $c_2$ и добавили $x$ литров вина по цене $c_1$. Во втором бочонке стало $(n-x)$ литров вина по цене $c_2$ и $x$ литров вина по цене $c_1$. Общая стоимость вина во втором бочонке составит $(n-x)c_2 + xc_1$. Общий объем вина в бочонке также не изменился и равен $n$ литров. Новая цена за литр вина во втором бочонке будет равна: $C_{новая2} = \frac{(n-x)c_2 + xc_1}{n}$

По условию задачи, новые цены должны быть равны, то есть $C_{новая1} = C_{новая2}$. Составим уравнение: $\frac{(m-x)c_1 + xc_2}{m} = \frac{(n-x)c_2 + xc_1}{n}$

Решим это уравнение относительно $x$. Для этого умножим обе части на $mn$: $n \cdot ((m-x)c_1 + xc_2) = m \cdot ((n-x)c_2 + xc_1)$

Раскроем скобки: $nmc_1 - nxc_1 + nxc_2 = mnc_2 - mxc_2 + mxc_1$

Сгруппируем все члены, содержащие $x$, в левой части уравнения, а остальные — в правой: $nxc_2 - nxc_1 + mxc_2 - mxc_1 = mnc_2 - nmc_1$

Вынесем $x$ за скобки в левой части: $x(nc_2 - nc_1 + mc_2 - mc_1) = mn(c_2 - c_1)$

Сгруппируем слагаемые в скобках по ценам $c_1$ и $c_2$: $x((n+m)c_2 - (n+m)c_1) = mn(c_2 - c_1)$

Вынесем общий множитель $(m+n)$: $x(m+n)(c_2 - c_1) = mn(c_2 - c_1)$

Так как по условию цены на вино разные, $c_1 \neq c_2$, следовательно, $c_2 - c_1 \neq 0$. Значит, мы можем разделить обе части уравнения на $(c_2 - c_1)$: $x(m+n) = mn$

Отсюда выражаем $x$: $x = \frac{mn}{m+n}$

Это и есть искомое количество вина. Интересно, что оно не зависит от первоначальных цен, а только от объемов бочонков.
Ответ: $\frac{mn}{m+n}$ литров.

259 Имеются две бочки бензина разной цены. В одной бочке находится 220 л бензина, а в другой — 180 л. Из каждой бочки берут по одинаковому количеству литров бензина и переливают в другую, после чего цена литра бензина в бочках стала одинаковой. По сколько литров бензина перелили из каждой бочки?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $V_1 = 220$ л — начальный объем бензина в первой бочке.
• $V_2 = 180$ л — начальный объем бензина во второй бочке.
• $P_1$ — начальная цена за литр бензина в первой бочке.
• $P_2$ — начальная цена за литр бензина во второй бочке. По условию, цены разные, то есть $P_1 \neq P_2$.
• $x$ — искомое количество литров бензина, которое перелили из каждой бочки в другую.

После взаимного переливания объемы бензина в бочках не изменятся, так как в каждую бочку долили столько же, сколько из нее взяли. Однако изменится состав смеси в каждой бочке и, как следствие, средняя цена за литр.

В первой бочке после переливания окажется $(220 - x)$ литров бензина по первоначальной цене $P_1$ и $x$ литров бензина из второй бочки по цене $P_2$. Общая стоимость бензина в первой бочке составит $C_1 = (220 - x)P_1 + xP_2$. Общий объем останется $V_1 = 220$ л. Новая цена за литр в первой бочке, $P'_1$, будет равна:
$P'_{1} = \frac{\text{общая стоимость}}{\text{общий объем}} = \frac{(220 - x)P_1 + xP_2}{220}$

Во второй бочке аналогично окажется $(180 - x)$ литров бензина по цене $P_2$ и $x$ литров бензина из первой бочки по цене $P_1$. Общая стоимость бензина во второй бочке составит $C_2 = (180 - x)P_2 + xP_1$. Общий объем останется $V_2 = 180$ л. Новая цена за литр во второй бочке, $P'_2$, будет равна:
$P'_{2} = \frac{(180 - x)P_2 + xP_1}{180}$

По условию задачи, после переливания цены за литр бензина в бочках стали одинаковыми: $P'_{1} = P'_{2}$. Составим и решим уравнение:

$\frac{(220 - x)P_1 + xP_2}{220} = \frac{(180 - x)P_2 + xP_1}{180}$

Преобразуем левую и правую части уравнения, разделив числители почленно на знаменатели:

$\frac{220P_1}{220} + \frac{x(P_2 - P_1)}{220} = \frac{180P_2}{180} + \frac{x(P_1 - P_2)}{180}$
$P_1 + \frac{x(P_2 - P_1)}{220} = P_2 + \frac{x(P_1 - P_2)}{180}$

Сгруппируем члены с ценами ($P_1$, $P_2$) в левой части, а члены с переменной $x$ — в правой. Заметим, что $P_2 - P_1 = -(P_1 - P_2)$.

$P_1 - P_2 = \frac{x(P_1 - P_2)}{180} - \frac{x(P_2 - P_1)}{220}$
$P_1 - P_2 = \frac{x(P_1 - P_2)}{180} + \frac{x(P_1 - P_2)}{220}$

Вынесем общий множитель $(P_1 - P_2)$ в правой части за скобки:

$P_1 - P_2 = (P_1 - P_2) \left( \frac{x}{180} + \frac{x}{220} \right)$

Так как по условию $P_1 \neq P_2$, то разность $(P_1 - P_2)$ не равна нулю. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $(P_1 - P_2)$:
$1 = \frac{x}{180} + \frac{x}{220}$

Осталось решить это простое уравнение относительно $x$. Вынесем $x$ за скобки:

$1 = x \left( \frac{1}{180} + \frac{1}{220} \right)$
Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $180 \cdot 220 = 39600$:
$1 = x \left( \frac{220 + 180}{180 \cdot 220} \right)$
$1 = x \left( \frac{400}{39600} \right)$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{39600}{400} = \frac{396}{4} = 99$

Следовательно, из каждой бочки перелили по 99 литров бензина.
Ответ: 99 литров.

260 Имеются два сосуда, содержащие растворы кислоты разной концентрации. В первом $m$ л раствора, во втором $n$ л раствора. Из каждого сосуда взяли по одинаковому количеству раствора и перелили в другой сосуд, после чего концентрация кислоты в растворах сравнялась. По скольку литров раствора перелили из каждого сосуда? Решите задачу в общем виде. Получите от-вет, если:

a) $m = 20, n = 30;$

б) $m = 10, n = 30.$

Для решения задачи в общем виде введем следующие обозначения:

• $m$ — начальный объем раствора в первом сосуде (в литрах).
• $n$ — начальный объем раствора во втором сосуде (в литрах).
• $c_1$ и $c_2$ — начальные концентрации кислоты в первом и втором сосудах соответственно (в долях). По условию, $c_1 \ne c_2$.
• $x$ — количество раствора, которое перелили из каждого сосуда (в литрах). Это искомая величина.

Количество чистой кислоты в первом сосуде до переливания: $m \cdot c_1$.

Количество чистой кислоты во втором сосуде до переливания: $n \cdot c_2$.

Из первого сосуда взяли $x$ литров раствора, в которых содержалось $x \cdot c_1$ литров чистой кислоты. Одновременно в него добавили $x$ литров раствора из второго сосуда, в которых содержалось $x \cdot c_2$ литров чистой кислоты.

После обмена объем раствора в первом сосуде остался прежним: $m - x + x = m$ литров. Количество чистой кислоты в нем стало: $m \cdot c_1 - x \cdot c_1 + x \cdot c_2$.

Новая концентрация в первом сосуде: $C_1 = \frac{m \cdot c_1 - x \cdot c_1 + x \cdot c_2}{m}$.

Аналогично для второго сосуда. Из него взяли $x$ литров с $x \cdot c_2$ литрами кислоты и добавили $x$ литров из первого сосуда с $x \cdot c_1$ литрами кислоты.

Объем раствора во втором сосуде также не изменился: $n - x + x = n$ литров. Количество чистой кислоты в нем стало: $n \cdot c_2 - x \cdot c_2 + x \cdot c_1$.

Новая концентрация во втором сосуде: $C_2 = \frac{n \cdot c_2 - x \cdot c_2 + x \cdot c_1}{n}$.

По условию, после переливания концентрации сравнялись, то есть $C_1 = C_2$.

$\frac{m \cdot c_1 - x \cdot c_1 + x \cdot c_2}{m} = \frac{n \cdot c_2 - x \cdot c_2 + x \cdot c_1}{n}$

Решим это уравнение относительно $x$.

$n(m \cdot c_1 - x \cdot c_1 + x \cdot c_2) = m(n \cdot c_2 - x \cdot c_2 + x \cdot c_1)$

$n \cdot m \cdot c_1 - n \cdot x \cdot c_1 + n \cdot x \cdot c_2 = m \cdot n \cdot c_2 - m \cdot x \cdot c_2 + m \cdot x \cdot c_1$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $x$, в левой части уравнения, а остальные — в правой:

$n \cdot x \cdot c_2 + m \cdot x \cdot c_2 - n \cdot x \cdot c_1 - m \cdot x \cdot c_1 = m \cdot n \cdot c_2 - n \cdot m \cdot c_1$

Вынесем $x$ и общие множители за скобки:

$x(c_2(n+m) - c_1(n+m)) = mn(c_2 - c_1)$

$x(n+m)(c_2 - c_1) = mn(c_2 - c_1)$

Так как по условию концентрации были различны, $c_1 \ne c_2$, то $c_2 - c_1 \ne 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $(c_2 - c_1)$:

$x(m+n) = mn$

Отсюда находим искомую величину $x$:

$x = \frac{mn}{m+n}$

Это и есть решение задачи в общем виде. Теперь найдем численные ответы.

а) При $m = 20$ л и $n = 30$ л:

$x = \frac{20 \cdot 30}{20 + 30} = \frac{600}{50} = 12$ л.

Ответ: 12 л.

б) При $m = 10$ л и $n = 30$ л:

$x = \frac{10 \cdot 30}{10 + 30} = \frac{300}{40} = \frac{30}{4} = 7.5$ л.

Ответ: 7,5 л.

261 а) Какое количество воды надо добавить в 1 литр $10\%$-ного водного раствора спирта, чтобы получить $6\%$-ный раствор?

б) Имеется 1 литр $6\%$-ного раствора спирта. Сколько литров $3\%$-ного раствора спирта нужно добавить в первый раствор, чтобы получить $5\%$-ный раствор?

а)

Для решения этой задачи сначала найдем количество чистого спирта в исходном растворе. При объеме раствора 1 литр и концентрации 10% количество спирта составляет:

$V_{спирта} = 1 \text{ л} \times 10\% = 1 \times 0.10 = 0.1 \text{ л}$

При добавлении воды количество чистого спирта в растворе не меняется. Меняется только общий объем раствора и, как следствие, его концентрация.

Пусть $x$ – это количество воды (в литрах), которое необходимо добавить. Тогда новый объем раствора будет равен $1 + x$ литров.

Новая концентрация должна составить 6%, или 0.06. Мы можем составить уравнение, где концентрация равна отношению объема спирта к общему объему раствора:

$\frac{0.1}{1 + x} = 0.06$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$0.1 = 0.06 \times (1 + x)$

$0.1 = 0.06 + 0.06x$

$0.06x = 0.1 - 0.06$

$0.06x = 0.04$

$x = \frac{0.04}{0.06} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Таким образом, необходимо добавить $\frac{2}{3}$ литра воды.

Ответ: $\frac{2}{3}$ литра.

б)

В этой задаче мы смешиваем два раствора разной концентрации, чтобы получить третий. Используем правило сохранения массы (или объема) чистого вещества (спирта).

Найдем количество чистого спирта в первом растворе:

$V_{спирта1} = 1 \text{ л} \times 6\% = 1 \times 0.06 = 0.06 \text{ л}$

Пусть $y$ – это объем 3%-ного раствора (в литрах), который нужно добавить. Количество чистого спирта во втором растворе будет:

$V_{спирта2} = y \times 3\% = y \times 0.03$

При смешивании двух растворов их объемы и объемы чистого спирта складываются. Общий объем нового раствора составит $1 + y$ литров. Общее количество спирта в нем будет $0.06 + 0.03y$ литров.

Концентрация итогового раствора должна быть 5%, или 0.05. Составим уравнение:

$\frac{0.06 + 0.03y}{1 + y} = 0.05$

Решим это уравнение относительно $y$:

$0.06 + 0.03y = 0.05 \times (1 + y)$

$0.06 + 0.03y = 0.05 + 0.05y$

$0.06 - 0.05 = 0.05y - 0.03y$

$0.01 = 0.02y$

$y = \frac{0.01}{0.02} = \frac{1}{2} = 0.5$

Следовательно, нужно добавить 0.5 литра 3%-ного раствора спирта.

Ответ: 0.5 литра.

262 a) Из пункта A выехал колёсный трактор со скоростью 25 км/ч. Через час вслед за ним одновременно выехали грузовик и легковой автомобиль. Скорость грузовика постоянна и составляет $\frac{3}{4}$ скорости легкового автомобиля. Найдите скорость грузовика, если известно, что он догнал трактор на 10 мин позже, чем легковой автомобиль.

б) От пристани по водохранилищу со скоростью 10 км/ч начала двигаться яхта. Спустя полтора часа от той же пристани за яхтой последовали два катера с постоянными скоростями, причём скорость первого катера составляла $\frac{4}{3}$ скорости второго. Найдите скорость первого катера, если известно, что он догнал яхту на 15 мин раньше, чем второй.

а)

Пусть $v_г$ — скорость грузовика (в км/ч), а $v_л$ — скорость легкового автомобиля (в км/ч). Скорость трактора $v_т = 25$ км/ч.

Согласно условию, скорость грузовика составляет $\frac{3}{4}$ скорости легкового автомобиля: $v_г = \frac{3}{4} v_л$, откуда $v_л = \frac{4}{3} v_г$.

Грузовик и легковой автомобиль выехали на 1 час позже трактора. За этот час трактор проехал расстояние $S = v_т \cdot 1\text{ ч} = 25 \text{ км/ч} \cdot 1\text{ ч} = 25$ км. Это расстояние им предстоит наверстать.

Время, которое требуется легковому автомобилю, чтобы догнать трактор, можно найти, используя скорость сближения ($v_л - v_т$). Обозначим это время $t_л$: $t_л = \frac{S}{v_л - v_т} = \frac{25}{v_л - 25}$.

Аналогично, время, которое требуется грузовику, чтобы догнать трактор ($t_г$), равно: $t_г = \frac{S}{v_г - v_т} = \frac{25}{v_г - 25}$.

Известно, что грузовик догнал трактор на 10 минут позже, чем легковой автомобиль. Переведем минуты в часы: 10 мин = $\frac{10}{60}$ ч = $\frac{1}{6}$ ч. Таким образом, $t_г = t_л + \frac{1}{6}$, или $t_г - t_л = \frac{1}{6}$.

Составим уравнение: $\frac{25}{v_г - 25} - \frac{25}{v_л - 25} = \frac{1}{6}$.

Подставим в это уравнение выражение для $v_л$ через $v_г$: $v_л = \frac{4}{3} v_г$. $\frac{25}{v_г - 25} - \frac{25}{\frac{4}{3}v_г - 25} = \frac{1}{6}$.

Упростим второе слагаемое: $\frac{25}{\frac{4v_г - 75}{3}} = \frac{25 \cdot 3}{4v_г - 75} = \frac{75}{4v_г - 75}$.

Уравнение принимает вид: $\frac{25}{v_г - 25} - \frac{75}{4v_г - 75} = \frac{1}{6}$.

Приведем левую часть к общему знаменателю: $\frac{25(4v_г - 75) - 75(v_г - 25)}{(v_г - 25)(4v_г - 75)} = \frac{1}{6}$. $\frac{100v_г - 1875 - 75v_г + 1875}{4v_г^2 - 75v_г - 100v_г + 1875} = \frac{1}{6}$. $\frac{25v_г}{4v_г^2 - 175v_г + 1875} = \frac{1}{6}$.

Используя свойство пропорции, получаем: $6 \cdot 25v_г = 4v_г^2 - 175v_г + 1875$. $150v_г = 4v_г^2 - 175v_г + 1875$. $4v_г^2 - 325v_г + 1875 = 0$.

Решим квадратное уравнение. Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-325)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1875 = 105625 - 30000 = 75625$. $\sqrt{D} = \sqrt{75625} = 275$.

Найдем корни: $v_{г1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{325 + 275}{2 \cdot 4} = \frac{600}{8} = 75$. $v_{г2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{325 - 275}{2 \cdot 4} = \frac{50}{8} = 6.25$.

Скорость грузовика должна быть больше скорости трактора, чтобы он мог его догнать, то есть $v_г > 25$ км/ч. Корень $v_{г2} = 6.25$ не удовлетворяет этому условию. Следовательно, скорость грузовика равна 75 км/ч.

Ответ: 75 км/ч.

б)

Пусть $v_1$ — скорость первого катера (в км/ч), а $v_2$ — скорость второго катера (в км/ч). Скорость яхты $v_я = 10$ км/ч.

Согласно условию, скорость первого катера составляла $\frac{4}{3}$ скорости второго: $v_1 = \frac{4}{3} v_2$, откуда $v_2 = \frac{3}{4} v_1$.

Катера вышли на 1.5 часа (полтора часа) позже яхты. За это время яхта прошла расстояние $S = v_я \cdot 1.5\text{ ч} = 10 \text{ км/ч} \cdot 1.5\text{ ч} = 15$ км. Это начальное расстояние между яхтой и катерами.

Время, которое требуется первому катеру, чтобы догнать яхту ($t_1$), определяется скоростью сближения ($v_1 - v_я$): $t_1 = \frac{S}{v_1 - v_я} = \frac{15}{v_1 - 10}$.

Аналогично, время, которое требуется второму катеру, чтобы догнать яхту ($t_2$), равно: $t_2 = \frac{S}{v_2 - v_я} = \frac{15}{v_2 - 10}$.

Известно, что первый катер догнал яхту на 15 минут раньше, чем второй. Переведем минуты в часы: 15 мин = $\frac{15}{60}$ ч = $\frac{1}{4}$ ч. Таким образом, $t_1 = t_2 - \frac{1}{4}$, или $t_2 - t_1 = \frac{1}{4}$.

Составим уравнение: $\frac{15}{v_2 - 10} - \frac{15}{v_1 - 10} = \frac{1}{4}$.

Подставим в это уравнение выражение для $v_2$ через $v_1$: $v_2 = \frac{3}{4} v_1$. $\frac{15}{\frac{3}{4}v_1 - 10} - \frac{15}{v_1 - 10} = \frac{1}{4}$.

Упростим первое слагаемое: $\frac{15}{\frac{3v_1 - 40}{4}} = \frac{15 \cdot 4}{3v_1 - 40} = \frac{60}{3v_1 - 40}$.

Уравнение принимает вид: $\frac{60}{3v_1 - 40} - \frac{15}{v_1 - 10} = \frac{1}{4}$.

Приведем левую часть к общему знаменателю: $\frac{60(v_1 - 10) - 15(3v_1 - 40)}{(3v_1 - 40)(v_1 - 10)} = \frac{1}{4}$. $\frac{60v_1 - 600 - 45v_1 + 600}{3v_1^2 - 30v_1 - 40v_1 + 400} = \frac{1}{4}$. $\frac{15v_1}{3v_1^2 - 70v_1 + 400} = \frac{1}{4}$.

Используя свойство пропорции, получаем: $4 \cdot 15v_1 = 3v_1^2 - 70v_1 + 400$. $60v_1 = 3v_1^2 - 70v_1 + 400$. $3v_1^2 - 130v_1 + 400 = 0$.

Решим квадратное уравнение. Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-130)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 400 = 16900 - 4800 = 12100$. $\sqrt{D} = \sqrt{12100} = 110$.

Найдем корни: $v_{1,1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{130 + 110}{2 \cdot 3} = \frac{240}{6} = 40$. $v_{1,2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{130 - 110}{2 \cdot 3} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$.

Скорости катеров должны быть больше скорости яхты, чтобы они могли ее догнать, то есть $v_1 > 10$ км/ч и $v_2 > 10$ км/ч. Корень $v_{1,2} = \frac{10}{3} \approx 3.33$ км/ч не удовлетворяет условию $v_1 > 10$. Проверим корень $v_{1,1} = 40$ км/ч. $40 > 10$. Найдем $v_2 = \frac{3}{4}v_1 = \frac{3}{4} \cdot 40 = 30$ км/ч. $30 > 10$. Оба условия выполняются. Следовательно, скорость первого катера равна 40 км/ч.

Ответ: 40 км/ч.

263 а) Из пункта А в одном направлении одновременно отправились пешеход и велосипедист. Через 2 ч вслед за ними из того же пункта выехал мотоциклист, скорость которого равна 30 км/ч. Найдите скорость пешехода, если она постоянна и составляет $\frac{2}{5}$ скорости велосипедиста и мотоциклист догнал пешехода на 1,5 ч раньше, чем велосипедиста.

б) Из пункта А по одному и тому же маршруту одновременно выехали грузовик и легковой автомобиль. Скорость легкового автомобиля постоянна и составляет $\frac{6}{5}$ скорости грузовика. Через 30 мин вслед за ними из того же пункта выехал мотоциклист со скоростью 90 км/ч. Найдите скорость легкового автомобиля, если известно, что мотоциклист догнал грузовик на 1 ч раньше, чем легковой автомобиль.

а)

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $v_п$ — скорость пешехода (в км/ч).
• $v_в$ — скорость велосипедиста (в км/ч).
• $v_м = 30$ км/ч — скорость мотоциклиста.

Из условия известно, что скорость пешехода составляет $\frac{2}{5}$ скорости велосипедиста, то есть: $v_п = \frac{2}{5} v_в$, из чего следует, что $v_в = \frac{5}{2} v_п$.

Мотоциклист выехал на 2 часа позже пешехода и велосипедиста. Пусть $t$ — это время, прошедшее с момента выезда мотоциклиста. Тогда пешеход и велосипедист к этому моменту были в пути $(t + 2)$ часа.

Найдем время $t_п$, через которое мотоциклист догнал пешехода. В момент встречи они преодолели одинаковое расстояние от пункта А. $v_п \cdot (t_п + 2) = v_м \cdot t_п$ $v_п t_п + 2v_п = v_м t_п$ $2v_п = t_п (v_м - v_п)$ $t_п = \frac{2v_п}{v_м - v_п}$

Аналогично найдем время $t_в$, через которое мотоциклист догнал велосипедиста. $v_в \cdot (t_в + 2) = v_м \cdot t_в$ $v_в t_в + 2v_в = v_м t_в$ $2v_в = t_в (v_м - v_в)$ $t_в = \frac{2v_в}{v_м - v_в}$

По условию, мотоциклист догнал пешехода на 1,5 часа раньше, чем велосипедиста. Это означает, что время движения мотоциклиста до встречи с велосипедистом было на 1,5 часа больше, чем до встречи с пешеходом: $t_в - t_п = 1,5$

Подставим в это уравнение полученные выражения для $t_п$ и $t_в$: $\frac{2v_в}{v_м - v_в} - \frac{2v_п}{v_м - v_п} = 1,5$

Теперь подставим известные значения: $v_м = 30$ и $v_в = \frac{5}{2}v_п$. $\frac{2(\frac{5}{2}v_п)}{30 - \frac{5}{2}v_п} - \frac{2v_п}{30 - v_п} = 1,5$ $\frac{5v_п}{30 - 2,5v_п} - \frac{2v_п}{30 - v_п} = 1,5$

Приведем левую часть к общему знаменателю: $v_п \left( \frac{5(30 - v_п) - 2(30 - 2,5v_п)}{(30 - 2,5v_п)(30 - v_п)} \right) = 1,5$ $v_п \left( \frac{150 - 5v_п - 60 + 5v_п}{(30 - 2,5v_п)(30 - v_п)} \right) = 1,5$ $v_п \left( \frac{90}{(30 - 2,5v_п)(30 - v_п)} \right) = 1,5$ $\frac{90v_п}{900 - 30v_п - 75v_п + 2,5v_п^2} = 1,5$ $90v_п = 1,5(2,5v_п^2 - 105v_п + 900)$ Разделим обе части на 1,5: $60v_п = 2,5v_п^2 - 105v_п + 900$ $2,5v_п^2 - 165v_п + 900 = 0$ Умножим на 2, чтобы избавиться от дроби: $5v_п^2 - 330v_п + 1800 = 0$ Разделим на 5: $v_п^2 - 66v_п + 360 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = (-66)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 360 = 4356 - 1440 = 2916 = 54^2$ $v_п = \frac{66 \pm \sqrt{2916}}{2} = \frac{66 \pm 54}{2}$ Уравнение имеет два корня: $v_{п1} = \frac{66 + 54}{2} = 60$ $v_{п2} = \frac{66 - 54}{2} = 6$

Проверим полученные значения. Чтобы мотоциклист мог догнать пешехода и велосипедиста, их скорости должны быть меньше скорости мотоциклиста ($30$ км/ч). Если $v_п = 60$ км/ч, то скорость больше $v_м = 30$ км/ч, что противоречит условию задачи (догнать невозможно). Если $v_п = 6$ км/ч, то $v_в = \frac{5}{2} \cdot 6 = 15$ км/ч. Обе скорости ($6$ км/ч и $15$ км/ч) меньше $30$ км/ч, что является верным.

Ответ: скорость пешехода равна 6 км/ч.

б)

Введем обозначения для скоростей:

• $v_г$ — скорость грузовика (в км/ч).
• $v_л$ — скорость легкового автомобиля (в км/ч).
• $v_м = 90$ км/ч — скорость мотоциклиста.

Из условия известно, что $v_л = \frac{6}{5} v_г$, следовательно, $v_г = \frac{5}{6} v_л$.

Мотоциклист выехал на 30 минут (0,5 часа) позже грузовика и легкового автомобиля. Пусть $t$ — время движения мотоциклиста. Тогда грузовик и легковой автомобиль были в пути $(t + 0,5)$ часа.

Найдем время $t_г$, которое потребовалось мотоциклисту, чтобы догнать грузовик. В момент встречи их пройденные пути равны: $v_г \cdot (t_г + 0,5) = v_м \cdot t_г$ $0,5v_г = t_г(v_м - v_г)$ $t_г = \frac{0,5v_г}{v_м - v_г}$

Аналогично для легкового автомобиля (время $t_л$): $v_л \cdot (t_л + 0,5) = v_м \cdot t_л$ $0,5v_л = t_л(v_м - v_л)$ $t_л = \frac{0,5v_л}{v_м - v_л}$

По условию, мотоциклист догнал грузовик на 1 час раньше, чем легковой автомобиль. Это значит: $t_л - t_г = 1$

Подставим выражения для $t_л$ и $t_г$: $\frac{0,5v_л}{v_м - v_л} - \frac{0,5v_г}{v_м - v_г} = 1$

Подставим в уравнение $v_м = 90$ и $v_г = \frac{5}{6} v_л$: $\frac{0,5v_л}{90 - v_л} - \frac{0,5(\frac{5}{6} v_л)}{90 - \frac{5}{6}v_л} = 1$ $\frac{0,5v_л}{90 - v_л} - \frac{\frac{2,5}{6}v_л}{90 - \frac{5}{6}v_л} = 1$ Умножим числитель и знаменатель второй дроби на 6, чтобы упростить: $\frac{0,5v_л}{90 - v_л} - \frac{2,5v_л}{540 - 5v_л} = 1$ Вынесем $0,5v_л$ за скобки в левой части: $0,5v_л \left( \frac{1}{90 - v_л} - \frac{5}{540 - 5v_л} \right) = 1$ $0,5v_л \left( \frac{1}{90 - v_л} - \frac{5}{5(108 - v_л)} \right) = 1$ $0,5v_л \left( \frac{1}{90 - v_л} - \frac{1}{108 - v_л} \right) = 1$ Приведем к общему знаменателю: $0,5v_л \left( \frac{(108 - v_л) - (90 - v_л)}{(90 - v_л)(108 - v_л)} \right) = 1$ $0,5v_л \left( \frac{18}{(90 - v_л)(108 - v_л)} \right) = 1$ $\frac{9v_л}{(90 - v_л)(108 - v_л)} = 1$ $9v_л = (90 - v_л)(108 - v_л)$ $9v_л = 9720 - 90v_л - 108v_л + v_л^2$ $v_л^2 - 198v_л - 9v_л + 9720 = 0$ $v_л^2 - 207v_л + 9720 = 0$

Решим квадратное уравнение: $D = (-207)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9720 = 42849 - 38880 = 3969 = 63^2$ $v_л = \frac{207 \pm \sqrt{3969}}{2} = \frac{207 \pm 63}{2}$ Корни уравнения: $v_{л1} = \frac{207 + 63}{2} = \frac{270}{2} = 135$ $v_{л2} = \frac{207 - 63}{2} = \frac{144}{2} = 72$

Скорости догоняемых объектов должны быть меньше скорости догоняющего ($v_м = 90$ км/ч). Корень $v_л = 135$ км/ч не подходит, так как $135 > 90$. Корень $v_л = 72$ км/ч подходит, так как $72 < 90$. При этом скорость грузовика $v_г = \frac{5}{6} \cdot 72 = 60$ км/ч, что также меньше 90 км/ч.

Ответ: скорость легкового автомобиля равна 72 км/ч.