Номер 262, страница 432 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 262, страница 432.

Условие.

262 a) Из пункта A выехал колёсный трактор со скоростью 25 км/ч. Через час вслед за ним одновременно выехали грузовик и легковой автомобиль. Скорость грузовика постоянна и составляет $\frac{3}{4}$ скорости легкового автомобиля. Найдите скорость грузовика, если известно, что он догнал трактор на 10 мин позже, чем легковой автомобиль.

б) От пристани по водохранилищу со скоростью 10 км/ч начала двигаться яхта. Спустя полтора часа от той же пристани за яхтой последовали два катера с постоянными скоростями, причём скорость первого катера составляла $\frac{4}{3}$ скорости второго. Найдите скорость первого катера, если известно, что он догнал яхту на 15 мин раньше, чем второй.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Пусть $v_г$ — скорость грузовика (в км/ч), а $v_л$ — скорость легкового автомобиля (в км/ч). Скорость трактора $v_т = 25$ км/ч.

Согласно условию, скорость грузовика составляет $\frac{3}{4}$ скорости легкового автомобиля: $v_г = \frac{3}{4} v_л$, откуда $v_л = \frac{4}{3} v_г$.

Грузовик и легковой автомобиль выехали на 1 час позже трактора. За этот час трактор проехал расстояние $S = v_т \cdot 1\text{ ч} = 25 \text{ км/ч} \cdot 1\text{ ч} = 25$ км. Это расстояние им предстоит наверстать.

Время, которое требуется легковому автомобилю, чтобы догнать трактор, можно найти, используя скорость сближения ($v_л - v_т$). Обозначим это время $t_л$: $t_л = \frac{S}{v_л - v_т} = \frac{25}{v_л - 25}$.

Аналогично, время, которое требуется грузовику, чтобы догнать трактор ($t_г$), равно: $t_г = \frac{S}{v_г - v_т} = \frac{25}{v_г - 25}$.

Известно, что грузовик догнал трактор на 10 минут позже, чем легковой автомобиль. Переведем минуты в часы: 10 мин = $\frac{10}{60}$ ч = $\frac{1}{6}$ ч. Таким образом, $t_г = t_л + \frac{1}{6}$, или $t_г - t_л = \frac{1}{6}$.

Составим уравнение: $\frac{25}{v_г - 25} - \frac{25}{v_л - 25} = \frac{1}{6}$.

Подставим в это уравнение выражение для $v_л$ через $v_г$: $v_л = \frac{4}{3} v_г$. $\frac{25}{v_г - 25} - \frac{25}{\frac{4}{3}v_г - 25} = \frac{1}{6}$.

Упростим второе слагаемое: $\frac{25}{\frac{4v_г - 75}{3}} = \frac{25 \cdot 3}{4v_г - 75} = \frac{75}{4v_г - 75}$.

Уравнение принимает вид: $\frac{25}{v_г - 25} - \frac{75}{4v_г - 75} = \frac{1}{6}$.

Приведем левую часть к общему знаменателю: $\frac{25(4v_г - 75) - 75(v_г - 25)}{(v_г - 25)(4v_г - 75)} = \frac{1}{6}$. $\frac{100v_г - 1875 - 75v_г + 1875}{4v_г^2 - 75v_г - 100v_г + 1875} = \frac{1}{6}$. $\frac{25v_г}{4v_г^2 - 175v_г + 1875} = \frac{1}{6}$.

Используя свойство пропорции, получаем: $6 \cdot 25v_г = 4v_г^2 - 175v_г + 1875$. $150v_г = 4v_г^2 - 175v_г + 1875$. $4v_г^2 - 325v_г + 1875 = 0$.

Решим квадратное уравнение. Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-325)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1875 = 105625 - 30000 = 75625$. $\sqrt{D} = \sqrt{75625} = 275$.

Найдем корни: $v_{г1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{325 + 275}{2 \cdot 4} = \frac{600}{8} = 75$. $v_{г2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{325 - 275}{2 \cdot 4} = \frac{50}{8} = 6.25$.

Скорость грузовика должна быть больше скорости трактора, чтобы он мог его догнать, то есть $v_г > 25$ км/ч. Корень $v_{г2} = 6.25$ не удовлетворяет этому условию. Следовательно, скорость грузовика равна 75 км/ч.

Ответ: 75 км/ч.

б)

Пусть $v_1$ — скорость первого катера (в км/ч), а $v_2$ — скорость второго катера (в км/ч). Скорость яхты $v_я = 10$ км/ч.

Согласно условию, скорость первого катера составляла $\frac{4}{3}$ скорости второго: $v_1 = \frac{4}{3} v_2$, откуда $v_2 = \frac{3}{4} v_1$.

Катера вышли на 1.5 часа (полтора часа) позже яхты. За это время яхта прошла расстояние $S = v_я \cdot 1.5\text{ ч} = 10 \text{ км/ч} \cdot 1.5\text{ ч} = 15$ км. Это начальное расстояние между яхтой и катерами.

Время, которое требуется первому катеру, чтобы догнать яхту ($t_1$), определяется скоростью сближения ($v_1 - v_я$): $t_1 = \frac{S}{v_1 - v_я} = \frac{15}{v_1 - 10}$.

Аналогично, время, которое требуется второму катеру, чтобы догнать яхту ($t_2$), равно: $t_2 = \frac{S}{v_2 - v_я} = \frac{15}{v_2 - 10}$.

Известно, что первый катер догнал яхту на 15 минут раньше, чем второй. Переведем минуты в часы: 15 мин = $\frac{15}{60}$ ч = $\frac{1}{4}$ ч. Таким образом, $t_1 = t_2 - \frac{1}{4}$, или $t_2 - t_1 = \frac{1}{4}$.

Составим уравнение: $\frac{15}{v_2 - 10} - \frac{15}{v_1 - 10} = \frac{1}{4}$.

Подставим в это уравнение выражение для $v_2$ через $v_1$: $v_2 = \frac{3}{4} v_1$. $\frac{15}{\frac{3}{4}v_1 - 10} - \frac{15}{v_1 - 10} = \frac{1}{4}$.

Упростим первое слагаемое: $\frac{15}{\frac{3v_1 - 40}{4}} = \frac{15 \cdot 4}{3v_1 - 40} = \frac{60}{3v_1 - 40}$.

Уравнение принимает вид: $\frac{60}{3v_1 - 40} - \frac{15}{v_1 - 10} = \frac{1}{4}$.

Приведем левую часть к общему знаменателю: $\frac{60(v_1 - 10) - 15(3v_1 - 40)}{(3v_1 - 40)(v_1 - 10)} = \frac{1}{4}$. $\frac{60v_1 - 600 - 45v_1 + 600}{3v_1^2 - 30v_1 - 40v_1 + 400} = \frac{1}{4}$. $\frac{15v_1}{3v_1^2 - 70v_1 + 400} = \frac{1}{4}$.

Используя свойство пропорции, получаем: $4 \cdot 15v_1 = 3v_1^2 - 70v_1 + 400$. $60v_1 = 3v_1^2 - 70v_1 + 400$. $3v_1^2 - 130v_1 + 400 = 0$.

Решим квадратное уравнение. Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-130)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 400 = 16900 - 4800 = 12100$. $\sqrt{D} = \sqrt{12100} = 110$.

Найдем корни: $v_{1,1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{130 + 110}{2 \cdot 3} = \frac{240}{6} = 40$. $v_{1,2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{130 - 110}{2 \cdot 3} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$.

Скорости катеров должны быть больше скорости яхты, чтобы они могли ее догнать, то есть $v_1 > 10$ км/ч и $v_2 > 10$ км/ч. Корень $v_{1,2} = \frac{10}{3} \approx 3.33$ км/ч не удовлетворяет условию $v_1 > 10$. Проверим корень $v_{1,1} = 40$ км/ч. $40 > 10$. Найдем $v_2 = \frac{3}{4}v_1 = \frac{3}{4} \cdot 40 = 30$ км/ч. $30 > 10$. Оба условия выполняются. Следовательно, скорость первого катера равна 40 км/ч.

Ответ: 40 км/ч.