Номер 267, страница 434 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 267, страница 434.

Условие.

267 а) Три гонщика А, В и С, стартовав одновременно, движутся с постоянными скоростями в одном направлении по кольцевому шоссе. В момент старта гонщик В находился перед гонщиком А на расстоянии $1/3$ длины шоссе, а гонщик С – перед гонщиком В на таком же расстоянии. Гонщик А впервые догнал гонщика В в тот момент, когда гонщик В закончил свой первый круг, а ещё через 10 мин гонщик А впервые догнал гонщика С. Гонщик В тратит на круг на 2,5 мин меньше, чем гонщик С. Сколько времени тратит на круг гонщик А?

б) Три гонщика стартуют одновременно из одной точки шоссе, имеющего форму окружности, и едут в одном направлении с постоянными скоростями. Первый гонщик впервые после старта догнал второго, делая свой пятый круг, в точке, диаметрально противоположной точке старта, а через полчаса после этого он вторично (не считая момента старта) обогнал третьего гонщика. Сколько кругов в час делает первый гонщик, если второй гонщик проходит круг не менее чем за 20 мин?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

a)

Обозначим длину кольцевого шоссе за $L$. Для удобства примем $L=1$ (будем измерять расстояния в "кругах"). Пусть $v_A, v_B, v_C$ — скорости гонщиков A, B и C, а $t_A, t_B, t_C$ — время, за которое каждый из них проходит один круг. Скорости и время связаны соотношениями: $v_A = 1/t_A$, $v_B = 1/t_B$, $v_C = 1/t_C$. Все величины будем измерять в кругах и минутах.

В момент старта ($t=0$) расположим гонщика A в точке 0. Тогда гонщик B находится в точке $1/3$, а гонщик C — в точке $1/3 + 1/3 = 2/3$.

1. Первая встреча (A и B):
Гонщик A догоняет гонщика B. Это означает, что A должен проехать на $1/3$ круга больше, чем B. Пусть первая встреча произошла в момент времени $T_1$. Расстояние, которое проехал A: $d_A = v_A T_1$. Расстояние, которое проехал B: $d_B = v_B T_1$. Условие встречи: $d_A = d_B + 1/3$, откуда $(v_A - v_B)T_1 = 1/3$.

По условию, эта встреча происходит в тот момент, когда гонщик B заканчивает свой первый круг. Это означает, что гонщик B проехал расстояние, равное одному кругу ($L=1$). Время, которое на это требуется, по определению равно $t_B$. Таким образом, $T_1 = t_B$.

Подставим $T_1 = t_B$ в уравнение встречи: $(v_A - v_B)t_B = 1/3$
$v_A t_B - v_B t_B = 1/3$
Так как $v_B t_B = 1$ (расстояние, равное одному кругу), получаем: $v_A t_B - 1 = 1/3 \implies v_A t_B = 4/3$
Заменяя $v_A = 1/t_A$, получаем первое уравнение, связывающее времена гонщиков: $(1/t_A) \cdot t_B = 4/3 \implies t_B/t_A = 4/3 \implies 3t_B = 4t_A$.

2. Вторая встреча (A и C):
Гонщик A догоняет гонщика C через 10 минут после первой встречи. Время второй встречи $T_2 = T_1 + 10 = t_B + 10$. Для того чтобы догнать C, гонщик A должен преодолеть начальное расстояние в $2/3$ круга. Условие встречи: $(v_A - v_C)T_2 = 2/3$. Подставляем $T_2$ и выражаем скорости через время: $(\frac{1}{t_A} - \frac{1}{t_C})(t_B + 10) = \frac{2}{3}$.

3. Условие для B и C:
Гонщик B тратит на круг на 2,5 мин меньше, чем гонщик C: $t_B = t_C - 2.5 \implies t_C = t_B + 2.5$.

4. Решение системы уравнений:
Мы получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными ($t_A, t_B, t_C$): 1) $3t_B = 4t_A$ 2) $(\frac{1}{t_A} - \frac{1}{t_C})(t_B + 10) = \frac{2}{3}$ 3) $t_C = t_B + 2.5$

Выразим $t_A$ и $t_C$ через $t_B$ из уравнений (1) и (3): $t_A = \frac{3}{4} t_B$ $t_C = t_B + 2.5$ Подставим эти выражения в уравнение (2): $(\frac{1}{\frac{3}{4}t_B} - \frac{1}{t_B + 2.5})(t_B + 10) = \frac{2}{3}$
$(\frac{4}{3t_B} - \frac{1}{t_B + 2.5})(t_B + 10) = \frac{2}{3}$
Приведем к общему знаменателю выражение в скобках: $\frac{4(t_B + 2.5) - 3t_B}{3t_B(t_B + 2.5)}(t_B + 10) = \frac{2}{3}$
$\frac{4t_B + 10 - 3t_B}{3t_B(t_B + 2.5)}(t_B + 10) = \frac{2}{3}$
$\frac{t_B + 10}{3t_B(t_B + 2.5)}(t_B + 10) = \frac{2}{3}$
Умножим обе части на 3: $\frac{(t_B + 10)^2}{t_B(t_B + 2.5)} = 2$
$t_B^2 + 20t_B + 100 = 2t_B(t_B + 2.5) = 2t_B^2 + 5t_B$
$t_B^2 - 15t_B - 100 = 0$
Решим квадратное уравнение относительно $t_B$: $t_B = \frac{-(-15) \pm \sqrt{(-15)^2 - 4(1)(-100)}}{2(1)} = \frac{15 \pm \sqrt{225 + 400}}{2} = \frac{15 \pm \sqrt{625}}{2} = \frac{15 \pm 25}{2}$
Так как время не может быть отрицательным, выбираем знак плюс: $t_B = \frac{15 + 25}{2} = \frac{40}{2} = 20$ минут.

Теперь находим искомое время $t_A$: $t_A = \frac{3}{4} t_B = \frac{3}{4} \cdot 20 = 15$ минут.

Ответ: Гонщик A тратит на круг 15 минут.

---

б)

Обозначим скорости гонщиков $v_1, v_2, v_3$, а время прохождения одного круга $t_1, t_2, t_3$. Длину круга примем за 1. Тогда $v_i = 1/t_i$.

1. Первая встреча (1-й и 2-й гонщики):
Первый гонщик догнал второго впервые. Это значит, что он проехал на 1 круг больше. Встреча произошла в точке, диаметрально противоположной старту, то есть на отметке 0.5 круга. По условию, в этот момент первый гонщик "делал свой пятый круг", то есть он проехал 4 полных круга и еще половину круга. Таким образом, расстояние, пройденное первым гонщиком, $d_1 = 4.5$ круга. Второй гонщик проехал на 1 круг меньше, то есть $d_2 = 4.5 - 1 = 3.5$ круга.

Пусть встреча произошла в момент времени $T_{12}$. Тогда: $d_1 = v_1 T_{12} = 4.5$
$d_2 = v_2 T_{12} = 3.5$
Из этих уравнений можно найти соотношение скоростей и времен: $\frac{v_1}{v_2} = \frac{4.5}{3.5} = \frac{9}{7} \implies \frac{t_2}{t_1} = \frac{9}{7} \implies 7t_2 = 9t_1$. Также можем выразить время первой встречи: $T_{12} = d_1 / v_1 = 4.5t_1$.

2. Вторая встреча (1-й и 3-й гонщики):
Эта встреча произошла через полчаса (30 минут) после первой, то есть в момент времени $T_{13} = T_{12} + 30 = 4.5t_1 + 30$. Первый гонщик обогнал третьего "вторично (не считая момента старта)". Это означает, что к моменту $T_{13}$ первый гонщик проехал на 2 круга больше, чем третий. $d_1' = v_1 T_{13}$
$d_3' = v_3 T_{13}$
$d_1' = d_3' + 2 \implies (v_1 - v_3)T_{13} = 2$.
Подставляя выражения для $v_i$ и $T_{13}$: $(\frac{1}{t_1} - \frac{1}{t_3})(4.5t_1 + 30) = 2$.

3. Дополнительные условия и предположения:
Из условия задачи, второй гонщик проходит круг не менее чем за 20 минут: $t_2 \ge 20$. Используя соотношение $t_2 = \frac{9}{7}t_1$, получаем ограничение на $t_1$: $\frac{9}{7}t_1 \ge 20 \implies t_1 \ge \frac{140}{9}$ минут ($ \approx 15.56$ мин).

Уравнение $(\frac{1}{t_1} - \frac{1}{t_3})(4.5t_1 + 30) = 2$ связывает две переменные, $t_1$ и $t_3$. Для однозначного решения задачи необходимо дополнительное условие. В задачах такого типа, если место события не указано, часто предполагается, что оно происходит в одной из "особых" точек трассы (старт или диаметрально противоположная точка). Поскольку первая встреча произошла в диаметрально противоположной точке, логично предположить, что и вторая встреча, о которой идет речь, также произошла в одной из этих точек. Проверим оба варианта.

Расстояние, пройденное первым гонщиком к моменту $T_{13}$: $d_1' = v_1 T_{13} = \frac{1}{t_1}(4.5t_1 + 30) = 4.5 + \frac{30}{t_1}$. Место встречи определяется дробной частью этого расстояния.

- Предположение 1: Встреча произошла на линии старта (позиция 0). Тогда $d_1'$ должно быть целым числом: $4.5 + \frac{30}{t_1} = K$, где $K$ — целое. $\frac{30}{t_1} = K - 4.5 \implies t_1 = \frac{30}{K - 4.5} = \frac{60}{2K - 9}$. Учитывая, что $t_1 \ge 140/9$, получаем $K=5$ или $K=6$, что дает два возможных значения $t_1=60$ и $t_1=20$. Неоднозначность ответа делает это предположение маловероятным.

- Предположение 2: Встреча произошла в точке, диаметрально противоположной старту (позиция 0.5). Тогда $d_1'$ должен иметь вид $K+0.5$: $4.5 + \frac{30}{t_1} = K + 0.5$, где $K$ — целое. $\frac{30}{t_1} = K - 4 \implies t_1 = \frac{30}{K - 4}$. Так как $v_1 > v_3$, то $t_1 < t_3$, что выполняется. Так как $d_1' > d_1=4.5$, то $K+0.5 > 4.5$, значит $K > 4$. Учитывая $t_1 \ge 140/9 \approx 15.56$: $\frac{30}{K - 4} \ge \frac{140}{9} \implies 270 \ge 140(K-4) \implies 27 \ge 14K - 56 \implies 83 \ge 14K \implies K \le \frac{83}{14} \approx 5.92$. Единственное целое значение $K$, удовлетворяющее условию $K>4$, это $K=5$. При $K=5$ получаем единственное решение: $t_1 = \frac{30}{5 - 4} = 30$ минут.

4. Вычисление ответа:
Найденное время $t_1 = 30$ минут удовлетворяет условию $t_1 \ge 140/9$ ($30 \ge 15.56$). Вопрос задачи: сколько кругов в час делает первый гонщик. Это его скорость, выраженная в кругах/час. Время на один круг $t_1 = 30$ мин $= 0.5$ часа. Скорость $v_1 = \frac{1 \text{ круг}}{t_1} = \frac{1 \text{ круг}}{0.5 \text{ часа}} = 2$ круга/час.

Ответ: Первый гонщик делает 2 круга в час.