Номер 274, страница 435 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 274, страница 435.

Условие.

274 При каждом неотрицательном значении $a$ найдите наименьшее значение функции

$f(x) = x^2 + a + \frac{1}{x^2+a}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для нахождения наименьшего значения функции $f(x) = x^2 + a + \frac{1}{x^2+a}$ при заданном условии $a \ge 0$, воспользуемся методом замены переменной.

Введем новую переменную $y = x^2 + a$. Поскольку $x$ может быть любым действительным числом, $x^2$ принимает любые неотрицательные значения, то есть $x^2 \ge 0$. Учитывая, что по условию $a \ge 0$, получаем, что $y = x^2 + a \ge 0 + a = a$. Таким образом, новая переменная $y$ может принимать любые значения из промежутка $[a, \infty)$.

Заметим, что знаменатель $x^2+a$ не может быть равен нулю, если $a>0$. Если $a=0$, то $x^2 \ne 0$, то есть $x \ne 0$. В любом случае, $y = x^2+a > 0$.

После замены исходная функция примет вид $g(y) = y + \frac{1}{y}$. Задача сводится к нахождению наименьшего значения функции $g(y)$ на промежутке $y \in [a, \infty)$.

Исследуем функцию $g(y)$ на экстремумы. Для этого найдем ее производную:

$g'(y) = \left(y + \frac{1}{y}\right)' = 1 - \frac{1}{y^2} = \frac{y^2-1}{y^2}$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $g'(y) = 0$.

$\frac{y^2-1}{y^2} = 0$

Так как $y > 0$, то $y^2-1=0$, откуда $y=1$ (корень $y=-1$ не рассматриваем).

Определим знаки производной на интервалах, на которые точка $y=1$ делит область $y>0$:

• Если $0 < y < 1$, то $y^2 < 1$, $y^2-1 < 0$, следовательно, $g'(y) < 0$. Функция $g(y)$ на этом интервале убывает.
• Если $y > 1$, то $y^2 > 1$, $y^2-1 > 0$, следовательно, $g'(y) > 0$. Функция $g(y)$ на этом интервале возрастает.

Таким образом, точка $y=1$ является точкой глобального минимума функции $g(y)$ при $y>0$. Наименьшее значение в этой точке составляет $g(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2$.

Теперь необходимо найти наименьшее значение функции $g(y)$ на отрезке $[a, \infty)$. Это значение зависит от расположения точки минимума $y=1$ относительно промежутка $[a, \infty)$. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $0 \le a \le 1$

В этом случае точка минимума $y=1$ принадлежит промежутку $[a, \infty)$. Следовательно, наименьшее значение функции $g(y)$ на этом промежутке совпадает с ее глобальным минимумом и равно 2. Это значение достигается при $y=1$, то есть $x^2+a = 1$. Отсюда $x^2=1-a$. Так как $0 \le a \le 1$, то $1-a \ge 0$, значит, существуют действительные значения $x = \pm\sqrt{1-a}$, при которых функция $f(x)$ принимает свое наименьшее значение.

Случай 2: $a > 1$

В этом случае точка минимума $y=1$ не принадлежит промежутку $[a, \infty)$, так как $a > 1$. На всем промежутке $[a, \infty)$ функция $g(y)$ является возрастающей (поскольку для любого $y \ge a > 1$ производная $g'(y) > 0$). Следовательно, наименьшее значение функции на этом промежутке достигается на его левой границе, то есть при $y=a$. Это наименьшее значение равно $g(a) = a + \frac{1}{a}$. Оно достигается при $x^2+a=a$, то есть при $x^2=0$, откуда $x=0$.

Ответ: наименьшее значение функции равно 2 при $0 \le a \le 1$, и равно $a + \frac{1}{a}$ при $a > 1$.