Номер 281, страница 436 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 281, страница 436.

Условие.

281 Решите неравенство

$\frac{\log_2(8x) \cdot \log_{0,125x} 2}{\log_{0,5x} 16} \leq \frac{1}{4}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для данного неравенства. Аргументы логарифмов должны быть положительны, а основания логарифмов должны быть положительны и не равны единице.

1. Аргументы логарифмов: $8x > 0 \implies x > 0$.
2. Основания логарифмов:
$0.125x > 0 \implies x > 0$ и $0.125x \neq 1 \implies x \neq \frac{1}{0.125} \implies x \neq 8$.
$0.5x > 0 \implies x > 0$ и $0.5x \neq 1 \implies x \neq \frac{1}{0.5} \implies x \neq 2$.
3. Знаменатель не должен быть равен нулю: $\log_{0.5x} 16 \neq 0$, что всегда верно, так как $16 \neq 1$.

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in (0; 2) \cup (2; 8) \cup (8; +\infty)$.

Теперь преобразуем неравенство. Приведем все логарифмы к одному основанию, например, к 2, используя формулу перехода к новому основанию $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$.

$\log_2(8x) = \log_2 8 + \log_2 x = 3 + \log_2 x$.
$\log_{0.125x} 2 = \frac{\log_2 2}{\log_2(0.125x)} = \frac{1}{\log_2(0.125) + \log_2 x} = \frac{1}{\log_2(2^{-3}) + \log_2 x} = \frac{1}{-3 + \log_2 x}$.
$\log_{0.5x} 16 = \frac{\log_2 16}{\log_2(0.5x)} = \frac{4}{\log_2(0.5) + \log_2 x} = \frac{4}{\log_2(2^{-1}) + \log_2 x} = \frac{4}{-1 + \log_2 x}$.

Подставим преобразованные выражения в исходное неравенство: $$ \frac{(3 + \log_2 x) \cdot \frac{1}{-3 + \log_2 x}}{\frac{4}{-1 + \log_2 x}} \leq \frac{1}{4} $$ Упростим левую часть: $$ \frac{(3 + \log_2 x)(-1 + \log_2 x)}{4(-3 + \log_2 x)} \leq \frac{1}{4} $$ Умножим обе части на 4 (знак неравенства не меняется): $$ \frac{(\log_2 x + 3)(\log_2 x - 1)}{\log_2 x - 3} \leq 1 $$

Сделаем замену переменной: пусть $t = \log_2 x$. Неравенство примет вид: $$ \frac{(t+3)(t-1)}{t-3} \leq 1 $$ Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю: $$ \frac{(t+3)(t-1)}{t-3} - 1 \leq 0 $$ $$ \frac{t^2 + 2t - 3 - (t-3)}{t-3} \leq 0 $$ $$ \frac{t^2 + t}{t-3} \leq 0 $$ $$ \frac{t(t+1)}{t-3} \leq 0 $$

Решим это неравенство методом интервалов для переменной $t$. Корни числителя: $t=0$ и $t=-1$. Корень знаменателя: $t=3$. Отмечаем эти точки на числовой прямой и определяем знаки выражения на получившихся интервалах.

Интервалы, удовлетворяющие неравенству ($\leq 0$), это $t \in (-\infty, -1] \cup [0, 3)$.

Теперь выполним обратную замену $t = \log_2 x$.

1. $t \leq -1 \implies \log_2 x \leq -1$. Так как основание логарифма $2 > 1$, функция возрастающая, поэтому $x \leq 2^{-1}$, то есть $x \leq \frac{1}{2}$.
2. $0 \leq t < 3 \implies 0 \leq \log_2 x < 3$. Потенцируя, получаем $2^0 \leq x < 2^3$, то есть $1 \leq x < 8$.

Объединяем полученные решения для $x$: $x \in (-\infty, \frac{1}{2}] \cup [1, 8)$.

Наконец, найдем пересечение этого множества с ОДЗ: $x \in (0; 2) \cup (2; 8) \cup (8; +\infty)$.

- Для $x \in (-\infty, \frac{1}{2}]$ пересечение с ОДЗ дает $x \in (0, \frac{1}{2}]$.
- Для $x \in [1, 8)$ пересечение с ОДЗ дает $x \in [1, 2) \cup (2, 8)$.

Объединяя эти два интервала, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (0, \frac{1}{2}] \cup [1, 2) \cup (2, 8)$.