Номер 284, страница 436 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 284, страница 436.

Условие.

284 ЕГЭ Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

$\begin{cases} |4|y - 3|| = 12 - 3|x| \\ y^2 - a^2 = 3(2y - 3) - x^2 \end{cases}$

имеет ровно четыре решения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Рассмотрим данную систему уравнений:$$\begin{cases} 4|y-3| = 12 - 3|x| \\ y^2 - a^2 = 3(2y - 3) - x^2\end{cases}$$

Преобразуем первое уравнение системы:$4|y-3| = 12 - 3|x| \implies 3|x| + 4|y-3| = 12$.Это уравнение задает на координатной плоскости $(x, y)$ ромб. Чтобы убедиться в этом, можно раскрыть модули в каждой из четырех координатных четвертей со смещенным центром. Центр симметрии фигуры — точка $(0, 3)$.Найдем вершины ромба.Если $x=0$, то $4|y-3| = 12 \implies |y-3|=3$. Отсюда $y-3=3$ или $y-3=-3$, то есть $y=6$ или $y=0$. Получаем вершины $(0, 6)$ и $(0, 0)$.Если $y=3$, то $3|x|=12 \implies |x|=4$. Отсюда $x=4$ или $x=-4$. Получаем вершины $(4, 3)$ и $(-4, 3)$.Таким образом, графиком первого уравнения является ромб с вершинами в точках $(0, 6)$, $(4, 3)$, $(0, 0)$ и $(-4, 3)$. Центр ромба находится в точке $(0, 3)$.

Преобразуем второе уравнение системы:$y^2 - a^2 = 3(2y - 3) - x^2$$y^2 - a^2 = 6y - 9 - x^2$$x^2 + y^2 - 6y = a^2 - 9$Выделим полный квадрат для переменной $y$:$x^2 + (y^2 - 6y + 9) - 9 = a^2 - 9$$x^2 + (y-3)^2 = a^2$.Это уравнение окружности с центром в точке $(0, 3)$ и радиусом $R = \sqrt{a^2} = |a|$.

Задача сводится к нахождению таких значений параметра $a$, при которых окружность $x^2 + (y-3)^2 = R^2$ с центром в $(0, 3)$ и радиусом $R=|a|$ имеет ровно четыре общие точки с ромбом $3|x| + 4|y-3| = 12$.Центр окружности совпадает с центром ромба. Найдем ключевые значения радиуса $R$, при которых меняется количество точек пересечения.

1. Радиус, при котором окружность касается сторон ромба.Найдем расстояние от центра $(0, 3)$ до одной из сторон ромба, например, до стороны, соединяющей вершины $(0, 6)$ и $(4, 3)$. Уравнение прямой, проходящей через эти точки: $\frac{x-0}{4-0} = \frac{y-6}{3-6} \implies \frac{x}{4} = \frac{y-6}{-3} \implies -3x = 4y - 24 \implies 3x+4y-24=0$.Расстояние от точки $(x_0, y_0)$ до прямой $Ax+By+C=0$ равно $d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$.В нашем случае расстояние от центра $(0, 3)$ до прямой $3x+4y-24=0$ равно:$R_{min} = d = \frac{|3 \cdot 0 + 4 \cdot 3 - 24|}{\sqrt{3^2+4^2}} = \frac{|12-24|}{\sqrt{25}} = \frac{12}{5} = 2,4$.При $R=2,4$ окружность вписана в ромб и касается его в четырех точках. Это дает четыре решения.

2. Радиусы, при которых окружность проходит через вершины ромба.Расстояние от центра $(0, 3)$ до вершин $(0, 6)$ и $(0, 0)$:$R_1 = \sqrt{(0-0)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{3^2} = 3$.Расстояние от центра $(0, 3)$ до вершин $(4, 3)$ и $(-4, 3)$:$R_2 = \sqrt{(4-0)^2 + (3-3)^2} = \sqrt{4^2} = 4$.

Проанализируем количество решений в зависимости от радиуса $R=|a|$:

• При $R < 2,4$ окружность находится внутри ромба и не имеет с ним общих точек. 0 решений.
• При $R = 2,4$ окружность касается четырех сторон ромба. 4 решения.
• При $2,4 < R < 3$ окружность пересекает каждую из четырех сторон ромба в двух точках. 8 решений.
• При $R = 3$ окружность проходит через вершины $(0, 6)$ и $(0, 0)$ и пересекает каждую из четырех сторон еще в одной точке. Итого $2+4=6$ решений. 6 решений.
• При $3 < R < 4$ окружность пересекает каждую из четырех сторон ромба в одной точке. 4 решения.
• При $R = 4$ окружность проходит через вершины $(4, 3)$ и $(-4, 3)$ и не имеет других общих точек с ромбом. 2 решения.
• При $R > 4$ окружность целиком содержит ромб и не имеет с ним общих точек. 0 решений.

Система имеет ровно четыре решения, когда $R=2,4$ или когда $3 < R < 4$.Поскольку $R = |a|$, получаем:$|a| = 2,4 \implies a = \pm 2,4$.$3 < |a| < 4 \implies a \in (-4, -3) \cup (3, 4)$.

Объединяя найденные значения, получаем искомые значения параметра $a$.
Ответ: $a \in (-4; -3) \cup (3; 4) \cup \{-2,4; 2,4\}$.