Номер 277, страница 436 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 277, страница 436.

Условие.

277Найдите наибольшее значение функции $y = 2\cos x + \sqrt{3}x - \frac{\sqrt{3}\pi}{3}$ на отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, следует найти значения функции на концах этого отрезка и в критических точках, принадлежащих ему, а затем выбрать наибольшее из полученных значений.

1. Найдем производную функции $y = 2\cos x + \sqrt{3}x - \frac{\sqrt{3}\pi}{3}$.

$y' = (2\cos x + \sqrt{3}x - \frac{\sqrt{3}\pi}{3})' = -2\sin x + \sqrt{3}$.

2. Найдем критические точки, для этого приравняем производную к нулю.

$y' = 0$

$-2\sin x + \sqrt{3} = 0$

$2\sin x = \sqrt{3}$

$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Общие решения этого уравнения: $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ и $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n$ — целое число.

3. Выберем те критические точки, которые принадлежат заданному отрезку $[0; \frac{\pi}{2}]$.

Из всех решений только точка $x = \frac{\pi}{3}$ принадлежит отрезку $[0; \frac{\pi}{2}]$, так как $0 < \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$.

4. Вычислим значения функции в найденной критической точке и на концах отрезка.

Значение в критической точке $x = \frac{\pi}{3}$:

$y(\frac{\pi}{3}) = 2\cos(\frac{\pi}{3}) + \sqrt{3} \cdot \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}\pi}{3} = 2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}\pi}{3} = 1$.

Значение на левом конце отрезка $x = 0$:

$y(0) = 2\cos(0) + \sqrt{3} \cdot 0 - \frac{\sqrt{3}\pi}{3} = 2 \cdot 1 - 0 - \frac{\sqrt{3}\pi}{3} = 2 - \frac{\sqrt{3}\pi}{3}$.

Значение на правом конце отрезка $x = \frac{\pi}{2}$:

$y(\frac{\pi}{2}) = 2\cos(\frac{\pi}{2}) + \sqrt{3} \cdot \frac{\pi}{2} - \frac{\sqrt{3}\pi}{3} = 2 \cdot 0 + \frac{3\sqrt{3}\pi - 2\sqrt{3}\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}\pi}{6}$.

5. Сравним полученные значения: $1$, $2 - \frac{\sqrt{3}\pi}{3}$ и $\frac{\sqrt{3}\pi}{6}$.

Сравним $1$ с $2 - \frac{\sqrt{3}\pi}{3}$. Это равносильно сравнению $\frac{\sqrt{3}\pi}{3}$ с $1$. $\sqrt{3}\pi$ и $3$. Так как $\pi \approx 3.14$ и $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $\sqrt{3}\pi \approx 5.44 > 3$. Следовательно, $\frac{\sqrt{3}\pi}{3} > 1$, а значит $2 - \frac{\sqrt{3}\pi}{3} < 1$.

Сравним $1$ с $\frac{\sqrt{3}\pi}{6}$. Это равносильно сравнению $6$ с $\sqrt{3}\pi$. Так как $\sqrt{3}\pi \approx 5.44 < 6$, то $\frac{\sqrt{3}\pi}{6} < 1$.

Таким образом, наибольшим из трех значений является $1$.

Ответ: 1