Номер 280, страница 436 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 280, страница 436.

Условие.

280 ЕГЭ Решите уравнение $\frac{2 \sin^2 x + 2 \sin x \cos 2x - 1}{\sqrt{\cos x}} = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Исходное уравнение $\frac{2\sin^2 x + 2\sin x \cos 2x - 1}{\sqrt{\cos x}} = 0$ равносильно системе, состоящей из уравнения, в котором числитель равен нулю, и неравенства, в котором знаменатель строго больше нуля (подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным): $$ \begin{cases} 2\sin^2 x + 2\sin x \cos 2x - 1 = 0 \\ \cos x > 0 \end{cases} $$

Решим первое уравнение системы: $2\sin^2 x + 2\sin x \cos 2x - 1 = 0$. Воспользуемся тригонометрическим тождеством $2\sin^2 x = 1 - \cos 2x$. Подставив это выражение в уравнение, получим: $$ (1 - \cos 2x) + 2\sin x \cos 2x - 1 = 0 $$ После приведения подобных слагаемых уравнение упрощается: $$ 2\sin x \cos 2x - \cos 2x = 0 $$ Вынесем общий множитель $\cos 2x$ за скобки: $$ \cos 2x (2\sin x - 1) = 0 $$ Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум независимым уравнениям.

Первое уравнение: $\cos 2x = 0$. Его решениями является серия корней $2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, откуда $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Второе уравнение: $2\sin x - 1 = 0$, или $\sin x = \frac{1}{2}$. Его решениями являются две серии корней: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь выполним отбор найденных корней с учетом условия $\cos x > 0$. Данное условие выполняется, когда угол $x$ находится в I или IV координатной четверти. Проверим каждую из полученных серий. Серия $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$: угол $\frac{\pi}{6}$ находится в I четверти, где $\cos x > 0$. Следовательно, эта серия корней удовлетворяет условию. Серия $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$: угол $\frac{5\pi}{6}$ находится во II четверти, где $\cos x < 0$. Эта серия не подходит. Серия $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$: на единичной окружности этим значениям $x$ соответствуют углы $\frac{\pi}{4}$, $\frac{3\pi}{4}$, $\frac{5\pi}{4}$ и $\frac{7\pi}{4}$. Условию $\cos x > 0$ удовлетворяют только те углы, которые находятся в I и IV четвертях, то есть $\frac{\pi}{4}$ и $\frac{7\pi}{4}$. Таким образом, из этой серии подходят только две подсерии корней: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ и $x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi k$. Вторую серию можно записать как $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi(k+1)$. Объединив эти две серии и переобозначив константу, получаем $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.