Номер 286, страница 436 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 286, страница 436.

Условие.

286 ЕГЭ Найдите все такие простые числа $p$, для каждого из которых существует такое целое число $k$, что число $p$ является общим делителем чисел $k^4 + 12k^2 + 12$ и $k^3 + 9k$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Пусть $p$ — простое число. Согласно условию, должно существовать такое целое число $k$, что $p$ является общим делителем чисел $k^4 + 12k^2 + 12$ и $k^3 + 9k$. Это эквивалентно существованию целочисленного решения $k$ для системы сравнений:

$ \begin{cases} k^4 + 12k^2 + 12 \equiv 0 \pmod{p} \\ k^3 + 9k \equiv 0 \pmod{p} \end{cases} $

Если $p$ является общим делителем двух многочленов от $k$, то $p$ также будет делить любую их линейную комбинацию. Используем алгоритм Евклида для многочленов, чтобы упростить систему. Разделим первый многочлен на второй с остатком:
$k^4 + 12k^2 + 12 = k(k^3 + 9k) - 9k^2 + 12k^2 + 12 = k(k^3 + 9k) + 3k^2 + 12$.

Поскольку $p$ делит $k^4 + 12k^2 + 12$ и $k(k^3 + 9k)$, то $p$ должно делить и остаток:
$3k^2 + 12 = 3(k^2+4) \equiv 0 \pmod{p}$.

Таким образом, исходная система равносильна следующей системе (поскольку если $p$ делит $k^3+9k$ и $3k^2+12$, то оно автоматически делит и их линейную комбинацию $k(k^3+9k) + (3k^2+12)$):

$ \begin{cases} k(k^2 + 9) \equiv 0 \pmod{p} \\ 3(k^2 + 4) \equiv 0 \pmod{p} \end{cases} $

Теперь проанализируем эту систему для различных простых $p$.

Случай 1: $p = 2$
Система принимает вид:
1) $k(k^2+9) \equiv k(k^2+1) \pmod{2}$. Это произведение делится на 2 для любого целого $k$. Если $k$ четно, то $k \equiv 0 \pmod{2}$. Если $k$ нечетно, то $k^2$ нечетно, и $k^2+1$ четно.
2) $3(k^2+4) \equiv 1 \cdot (k^2+0) \equiv k^2 \pmod{2}$. Это выражение делится на 2, только если $k$ четно.
Для выполнения обоих условий достаточно выбрать любое четное $k$, например $k=0$. При $k=0$ оба исходных выражения $k^4+12k^2+12=12$ и $k^3+9k=0$ делятся на 2. Значит, $p=2$ является решением.

Случай 2: $p = 3$
Система принимает вид:
1) $k(k^2+9) \equiv k(k^2) \equiv k^3 \pmod{3}$. Это выражение делится на 3 тогда и только тогда, когда $k$ делится на 3.
2) $3(k^2+4)$ делится на 3 для любого целого $k$.
Для выполнения обоих условий достаточно выбрать любое $k$, кратное 3, например $k=0$. При $k=0$ исходные выражения равны 12 и 0, оба делятся на 3. Значит, $p=3$ является решением.

Случай 3: $p = 5$
Система принимает вид:
1) $k(k^2+9) \equiv k(k^2+4) \pmod{5}$.
2) $3(k^2+4) \equiv 0 \pmod{5}$. Так как 3 и 5 взаимно просты, это равносильно $k^2+4 \equiv 0 \pmod{5}$, или $k^2 \equiv -4 \equiv 1 \pmod{5}$.
Если условие $k^2+4 \equiv 0 \pmod{5}$ выполнено, то первое условие $k(k^2+4) \equiv 0 \pmod{5}$ также автоматически выполняется. Нам нужно лишь найти такое $k$, для которого $k^2 \equiv 1 \pmod{5}$. Такое $k$ существует, например, $k=1$ или $k=4$.
Возьмем $k=1$ и проверим для исходных выражений:
$k^4+12k^2+12 = 1^4+12(1^2)+12 = 1+12+12 = 25$. 25 делится на 5.
$k^3+9k = 1^3+9(1) = 1+9 = 10$. 10 делится на 5.
Поскольку такое $k$ существует, $p=5$ является решением.

Случай 4: $p > 5$
Рассмотрим простое $p > 5$. Система условий:
1) $k(k^2+9) \equiv 0 \pmod{p}$.
2) $3(k^2+4) \equiv 0 \pmod{p}$.
Так как $p>5$, $p$ не делит 3, поэтому из второго условия следует $k^2+4 \equiv 0 \pmod{p}$, то есть $k^2 \equiv -4 \pmod{p}$.
Подставим это в первое условие. Выражение $k^2+9$ будет сравнимо с $-4+9 = 5$ по модулю $p$.
Тогда первое условие примет вид $k \cdot 5 \equiv 0 \pmod{p}$.
Так как $p>5$, $p$ не делит 5. Следовательно, должно выполняться $k \equiv 0 \pmod{p}$.
Итак, мы имеем два требования для $k$: $k \equiv 0 \pmod{p}$ и $k^2 \equiv -4 \pmod{p}$. Если подставить первое во второе, получим $0^2 \equiv -4 \pmod{p}$, то есть $4 \equiv 0 \pmod{p}$. Это означает, что $p$ должно быть делителем 4. Единственный простой делитель числа 4 — это 2. Таким образом, $p=2$.
Это противоречит нашему предположению, что $p>5$. Следовательно, для простых $p>5$ решений не существует.

Таким образом, единственными простыми числами, удовлетворяющими условию задачи, являются 2, 3 и 5.

Ответ: 2, 3, 5.